1. Método da Bisseção:
Encontre aproximação para f(x)=cos (x)-x^2 no intervalo [0,1] com|f(xk)| <= 0,001

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=cos(x)-x^2
no intervalo [0,1] usando o método da bisseção até obtermos um ponto xk tal que l|f(xk)r|<=0,001.
Conteúdo necessário:
bul<=t Teorema do valor intermediário para garantir a existência de raiz em [0,1].
bul<=t Algoritmo da bisseção: em cada iteração escolhemos o ponto médio do intervalo atual, avaliamos f nele e, com base no sinal, reduzimos o intervalo pela metade.

Passo 2

Verificamos os sinais em a=0 e b=1:
f(0)=cos(0)-0^2=1>0, f(1)=cos(1)-1^2approx0,5403-1=-0,4597<0
Como f(0)cdot f(1)<0, há pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 3

Esquema de cada iteração da bisseção:
1. Dado o intervalo [ak,bk] com f(ak),f(bk)<0, computamos o ponto médio
xk=ak+bk2
2. Avaliamos f(xk).
3. Se f(ak),f(xk)<0, definimos o próximo intervalo como [ak+1,bk+1]=[ak,xk]; caso contrário, usamos [ak+1,bk+1]=[xk,bk].
4. Repetimos até l|f(xk)r|<=0,001.

Passo 4

Aplicando o procedimento e calculando até , obtemos (valores aproximados com vírgula):
Na iteração já temos , então paramos.

Resposta

A aproximação da raiz é
x11approx0,82373046875,
com l|f(x11)r|approx0,000082<=0,001.

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