1. Método da Bisseção:
Encontre aproximação para
f(x)=e^2 x-x^4
com
mid f(xk) <= 0,001

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=e^2x-x^4
usando o método da bisseção, de modo que o valor aproximado xk satisfaça
lvert f(xk)rvert <= 0,001
O conteúdo principal é o método da bisseção para encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Precisamos primeiro achar um intervalo [a,b] em que haja mudança de sinal de f, ou seja, f(a),f(b)<0.
Calculando:
f(-1)=e^-2-(-1)^4=e^-2-1approx0,1353-1=-0,8647<0,
f(0)=e^0-0=1>0
Logo escolhemos o intervalo inicial [-1,0].

Passo 3

O algoritmo da bisseção gera sucessivos pontos médios
xk=ak-1+bk-12
e avalia f(xk). Se f(ak-1),f(xk)<0, mantém-se [ak,bk]=[ak-1,xk]; caso contrário, toma-se [ak,bk]=[xk,bk-1]. Repetimos até lvert f(xk)rvert<=0,001.

Passo 4

Aplicando as iterações:
Na iteração 1,
x1=-1+02=-0,5, f(x1)=e^-1-0,5^4approx0,3679-0,0625=0,3054>0,
então o novo intervalo é [-1,-0,5].
Na iteração 2,
x2=-1+(-0,5)2=-0,75, f(x2)approx0,2231-0,3164=-0,0933<0,
novo intervalo [-0,75,-0,5].
Na iteração 3,
x3=-0,625, f(x3)approx0,2865-0,1526=0,1339>0,
novo intervalo [-0,75,-0,625].
Na iteração 4,
x4=-0,6875, f(x4)approx0,2523-0,2234=0,0289>0,
novo intervalo [-0,75,-0,6875].
Na iteração 5,
x5=-0,71875, f(x5)approx0,2380-0,2677=-0,0297<0,
intervalo [-0,71875,-0,6875].
Na iteração 6,
x6=-0,703125, f(x6)approx0,2455-0,2444=0,0011>0,
intervalo [-0,71875,-0,703125].
Na iteração 7,
x7=-0,7109375, f(x7)approx0,2417-0,2554=-0,0137<0,
intervalo [-0,7109375,-0,703125].
Na iteração 8,
x8=-0,70703125, f(x8)approx0,2436-0,2499=-0,0063<0,
intervalo [-0,70703125,-0,703125].
Na iteração 9,
x9=-0,705078125, f(x9)approx0,2446-0,2472=-0,0026<0,
intervalo [-0,705078125,-0,703125].
Na iteração 10,
x10=-0,7041015625, f(x10)approx0,2450-0,2458=-0,0008,
e lvert f(x10)rvertapprox0,0008<=0,001, atingindo a tolerância desejada.

Resposta

A aproximação da raiz pelo método da bisseção é
xapprox -0,7041,
pois nessa iteração lvert f(x)rvertapprox0,0008<0,001.

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