Use cinco casas decimais para todos os cálculos. Considere as funções reais f(x)= cos (x)-raizx, g(x)=cos (x)-x e h(x)=x^3-x-1
Determine x^(3) no método da Bissecção para f tomando o intervalo inicial I=[0,1]. Estime o erro absoluto e erro relativo em x^(3).

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método da bissecção para encontrar uma raiz de
f(x)=cos(x)-raizx
no intervalo inicial I0=[0,1]. Vamos fazer três iterações: em cada uma calculamos o ponto médio ck, avaliamos f(ck) para decidir qual metade manter, e ao final usamos o fato de que, após n iterações,
lvert x^(n)-rrvert<=b0-a02^,n+1,
onde r é a raiz exata. Em seguida estimamos também o erro relativo lvert x^(n)-rrvert/lvert x^(n)rvert.

Passo 2

Inicialmente a0=0, b0=1.
Calculamos
c1=a0+b02=0,50000
Avaliação:
f(c1)=cos(0,50000)-raiz0,50000approx0,87758-0,70711=0,17048>0
Como f(a0)cdot f(c1)>0, descartamos [a0,c1] e ficamos com
I1=[c1,b0]=[0,50000,;1,00000]

Passo 3

No segundo passo fazemos
c2=a1+b12=0,50000+1,000002=0,75000
Avaliação:
f(c2)=cos(0,75000)-raiz0,75000approx0,73169-0,86603=-0,13434<0
Agora f(c2)cdot f(b1)>0, então descartamos [c2,b1] e tomamos
I2=[a1,c2]=[0,50000,;0,75000]

Passo 4

Na terceira iteração:
c3=a2+b22=0,50000+0,750002=0,62500
Avaliação:
f(c3)=cos(0,62500)-raiz0,62500approx0,81096-0,79057=0,02039>0
Logo descartamos [a2,c3] e o novo intervalo seria [0,62500,,0,75000]. A aproximação após três iterações é
x^(3)=c3=0,62500

Passo 5

O erro absoluto está limitado por
lvert x^(3)-rrvert<=b0-a02^3+1=1,0000016=0,06250

Passo 6

O erro relativo estimado é
lvert x^(3)-rrvertlvert x^(3)rvert<=0,062500,62500=0,10000

Resposta

x^(3)=0,62500,
Erro absoluto estimado <=0,06250,
Erro relativo estimado <=0,10000.

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