(Método da Falsa Posição) Calcular a raíz aproximada para a equação
, com
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados:
- A função é
. - O método exigido é o Método da Falsa Posição (regula falsi).
- A tolerância exigida é
. - Objetivo: encontrar uma aproximação da raiz de
usando a falsa posição, obedecendo a tolerância indicada.
Passo 2
Explicando o Método da Falsa Posição (aula rápida, bem mastigada)
- A ideia é manter um intervalo
tal que e tenham sinais opostos; assim existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração calcula-se o ponto
onde a reta que passa por e corta o eixo . A fórmula é
Aqui:
-
e são as extremidades do intervalo atual; -
e são os valores da função nessas extremidades; -
é a aproximação “por interpolação linear”. - Depois avalia-se
. Se a raiz foi encontrada; caso contrário substitui-se a extremidade cujo valor da função tem o mesmo sinal que por , mantendo sempre um intervalo que contenha uma raiz. - Critério de parada (escolha feita aqui): vou usar
como condição para parar, isto é, paro quando o valor absoluto do resíduo for menor ou igual a . (Outra opção comum é usar ; se preferir depois posso refazer com esse critério.) - Observação simpática: o método sempre mantém um intervalo que “garante” a raiz — isso é ótimo em prova quando querem segurança na resposta.
Passo 3
Escolher um intervalo inicial
com sinais opostos (achei um por inspeção simples)
- Calcular
e :
- Como
e , o intervalo contém uma raiz (porque há troca de sinal).
Passo 4
Iteração 1 (cálculo detalhado)
- Usando
, , , . - Fórmula:
- Calculando:
- Avaliar
:
- Como
e , a raiz está entre e . Atualiza-se o intervalo para
Passo 5
Iteração 2 (cálculo detalhado)
- Agora
com e com . - Calcula-se
- Primeiro
e . - Então
- Assim
- Avaliar
:
- Como
, novamente a extremidade com mesmo sinal (o atual) é substituída por . Novo intervalo:
Passo 6
Iteração 3 (cálculo detalhado e verificação do critério de parada)
- Agora
, ; , . - Calcula-se
- Com
e , o termo a subtrair é
- Assim
- Avaliar
:
- Verificação do critério:
. Logo a tolerância foi satisfeita e podemos parar.
Passo 7
Interpretação final e dica rápida para a prova
- A raiz aproximada encontrada com o Método da Falsa Posição e com o critério
( ) é . - Dica prática: em prova anote sempre
, , e o numerador/denominador da fórmula — isso evita erros de conta. Se pedirem tolerância em , troque o critério para . - Força aí! Esse método é ótimo porque mantém sempre um intervalo confiável contendo a raiz — ótimo para provas.