(Método da Falsa Posição) Calcular a raíz aproximada para a equação f(x)=\cos (x)+x, com \epsilon \leq 0,001.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados:
  • A função é f(x)=\cos(x)+x.
  • O método exigido é o Método da Falsa Posição (regula falsi).
  • A tolerância exigida é \epsilon \leq 0,001.
  • Objetivo: encontrar uma aproximação da raiz de f(x)=0 usando a falsa posição, obedecendo a tolerância indicada.

Passo 2

Explicando o Método da Falsa Posição (aula rápida, bem mastigada)
  • A ideia é manter um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos; assim existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Em cada iteração calcula-se o ponto c onde a reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) corta o eixo x. A fórmula é
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{\,f(b)-f(a)\,}.
Aqui:
  • a e b são as extremidades do intervalo atual;
  • f(a) e f(b) são os valores da função nessas extremidades;
  • c é a aproximação “por interpolação linear”.
  • Depois avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 a raiz foi encontrada; caso contrário substitui-se a extremidade cujo valor da função tem o mesmo sinal que f\text{(c)} por c, mantendo sempre um intervalo que contenha uma raiz.
  • Critério de parada (escolha feita aqui): vou usar |f\text{(c)}|\leq\epsilon como condição para parar, isto é, paro quando o valor absoluto do resíduo for menor ou igual a \epsilon. (Outra opção comum é usar |c_{\text{novo}}-c_{\text{ant}}|\leq\epsilon; se preferir depois posso refazer com esse critério.)
  • Observação simpática: o método sempre mantém um intervalo que “garante” a raiz — isso é ótimo em prova quando querem segurança na resposta.

Passo 3

Escolher um intervalo inicial [a,b] com sinais opostos (achei um por inspeção simples)
  • Calcular f(0) e f(-1):
f(0)=\cos(0)+0=1.
f(-1)=\cos(-1)+(-1)=\cos(1)-1\approx 0,5403023059-1=-0,4596976941.
  • Como f(-1)\approx -0,4596976941<0 e f(0)=1>0, o intervalo [a,b]=[-1,0] contém uma raiz (porque há troca de sinal).

Passo 4

Iteração 1 (cálculo detalhado)
  • Usando a=-1, b=0, f(a)\approx -0,4596976941, f(b)=1.
  • Fórmula:
c_1 = b - f(b)\,\frac{b-a}{\,f(b)-f(a)\,} = 0 - 1\cdot\frac{0-(-1)}{1-(-0,4596976941)}.
  • Calculando:
c_1 = -\frac{1}{1+0,4596976941}\approx -\frac{1}{1,4596976941}\approx -0,6850736.
  • Avaliar f(c_1):
f(c_1)=\cos(-0,6850736)+(-0,6850736)=\cos(0,6850736)-0,6850736\approx 0,7743710-0,6850736\approx 0,0892974.
  • Como f(c_1)>0 e f(a)<0, a raiz está entre a e c_1. Atualiza-se o intervalo para
[a,b]=[-1,\; -0,6850736].

Passo 5

Iteração 2 (cálculo detalhado)
  • Agora a=-1 com f(a)\approx -0,4596976941 e b=-0,6850736 com f(b)\approx 0,0892974.
  • Calcula-se
c_2 = b - f(b)\,\frac{b-a}{\,f(b)-f(a)\,} = -0,6850736 - 0,0892974\cdot\frac{-0,6850736-(-1)}{0,0892974-(-0,4596976941)}.
  • Primeiro b-a = 0,3149264 e f(b)-f(a)\approx 0,0892974+0,4596976941=0,5489951.
  • Então
\frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}\approx\frac{0,0892974\cdot 0,3149264}{0,5489951}\approx 0,0512139.
  • Assim
c_2 \approx -0,6850736 - 0,0512139 \approx -0,7362875.
  • Avaliar f(c_2):
f(c_2)=\cos(0,7362875)-0,7362875\approx 0,7409616-0,7362875\approx 0,0046741.
  • Como f(c_2)>0, novamente a extremidade com mesmo sinal (o b atual) é substituída por c_2. Novo intervalo:
[a,b]=[-1,\; -0,7362875].

Passo 6

Iteração 3 (cálculo detalhado e verificação do critério de parada)
  • Agora a=-1, f(a)\approx -0,4596976941; b=-0,7362875, f(b)\approx 0,0046741.
  • Calcula-se
c_3 = b - f(b)\,\frac{b-a}{\,f(b)-f(a)\,}.
  • Com b-a=0,2637125 e f(b)-f(a)\approx 0,0046741+0,4596976941=0,4643718, o termo a subtrair é
\frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)}\approx\frac{0,0046741\cdot 0,2637125}{0,4643718}\approx 0,0026538.
  • Assim
c_3 \approx -0,7362875 - 0,0026538 \approx -0,7389413.
  • Avaliar f(c_3):
f(c_3)=\cos(0,7389413)-0,7389413\approx 0,7391818-0,7389413\approx 0,0002405.
  • Verificação do critério: |f(c_3)|\approx 0,0002405 \leq 0,001. Logo a tolerância foi satisfeita e podemos parar.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida para a prova
  • A raiz aproximada encontrada com o Método da Falsa Posição e com o critério |f\text{(c)}|\leq\epsilon ( \epsilon=0,001) é c_3\approx -0,7389413.
  • Dica prática: em prova anote sempre f(a), f(b), b-a e o numerador/denominador da fórmula — isso evita erros de conta. Se pedirem tolerância em x, troque o critério para |c_{\text{novo}}-c_{\text{ant}}|\leq\epsilon.
  • Força aí! Esse método é ótimo porque mantém sempre um intervalo confiável contendo a raiz — ótimo para provas.

Resposta

-0,7389413

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