Método Falsa Posição
Seja
, devemos estimar a raiz xк no intervalo
; 1], com tolerância
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Método da Falsa Posição para encontrar a raiz da função $ f(x) = x^3 - 9x + 3 $ no intervalo
com uma tolerância de $ \varepsilon = 0,002 $. Isso significa que queremos achar um valor de
que faça
bem próximo de zero, dentro dessa margem de erro. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Falsa Posição, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções continuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método da Falsa Posição. A ideia é usar uma linha reta que conecta os pontos $ (a, f(a)) $ e $ (b, f(b)) $ no gráfico da função, onde
e
são os limites do intervalo inicial, para estimar a raiz. A intersecção dessa linha reta com o eixo
será nossa próxima estimativa de raiz.
Passo 3
Vamos iniciar com o intervalo
. Calculamos
e
. Como
e
têm sinais opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo, graças ao Teorema do Valor Intermediário.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do Método da Falsa Posição para encontrar a próxima aproximação $ c $:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos verificar o valor de $ f© $:
Como $ f© $ é negativo, a raiz está entre $ a = 0 $ e $ c = 0,375 $. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 6
Calculamos uma nova aproximação $ c $:
Passo 7
Verificamos $ f(0,3386) $:
Como $ f© $ ainda é negativo, atualizamos o intervalo para
.
Passo 8
Calculamos outra aproximação $ c $:
Passo 9
Verificamos $ f(0,3376) $:
A diferença
é menor que a tolerância
, então podemos parar.
Resposta
A raiz estimada é $ x \approx 0,3376 $.