Método Falsa Posição
Seja f(x)=x 3-9 x+3, devemos estimar a raiz xк no intervalo [0; 1], com tolerância square=0,002.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Método da Falsa Posição para encontrar a raiz da função $ f(x) = x^3 - 9x + 3 $ no intervalo f(x) = x^3 - 9x + 3 com uma tolerância de $ \varepsilon = 0,002 $. Isso significa que queremos achar um valor de [0; 1] que faça varepsilon = 0,002 bem próximo de zero, dentro dessa margem de erro. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Falsa Posição, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções continuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Método da Falsa Posição. A ideia é usar uma linha reta que conecta os pontos $ (a, f(a)) $ e $ (b, f(b)) $ no gráfico da função, onde (a, f(a)) e (b, f(b)) são os limites do intervalo inicial, para estimar a raiz. A intersecção dessa linha reta com o eixo a será nossa próxima estimativa de raiz.

Passo 3

Vamos iniciar com o intervalo [a, b] = [0, 1]. Calculamos f(a) = f(0) = 0^3 - 9(0) + 3 = 3 e f(b) = f(1) = 1^3 - 9(1) + 3 = 1 - 9 + 3 = -5. Como f(a) e f(b) têm sinais opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo, graças ao Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do Método da Falsa Posição para encontrar a próxima aproximação $ c $:
c
Substituindo os valores:
c = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a)

Passo 5

Vamos verificar o valor de $ f© $:
f(c)
Como $ f© $ é negativo, a raiz está entre $ a = 0 $ e $ c = 0,375 $. Atualizamos o intervalo para f(0,375) = (0,375)^3 - 9(0,375) + 3 approx 0,0527 - 3,375 + 3 = -0,3223 .

Passo 6

Calculamos uma nova aproximação $ c $:
c

Passo 7

Verificamos $ f(0,3386) $:
f(0,3386)
Como $ f© $ ainda é negativo, atualizamos o intervalo para f(0,3386) approx (0,3386)^3 - 9(0,3386) + 3 approx 0,0389 - 3,0474 + 3 = -0,0085 .

Passo 8

Calculamos outra aproximação $ c $:
c

Passo 9

Verificamos $ f(0,3376) $:
f(0,3376)
A diferença f(0,3376) approx (0,3376)^3 - 9(0,3376) + 3 approx 0,0385 - 3,0384 + 3 = -0,0001 é menor que a tolerância |f(c)| = 0,0001, então podemos parar.

Resposta

A raiz estimada é $ x \approx 0,3376 $.

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