O Método dos Quadrados Mínimos visa obter uma aproximação para uma função y(x) da forma phi(x)=c0 phi0(x)+c1 phi1(x)+ldots+cm phim(x), onde os phii(x) são escolhidos de acordo com o fenômeno e os valores de ci são determinados como solução do sistema normal:
[cccc sumi=0^n phi0(xi) phi0(xi) & sumi=0^n phi0(xi) phi1(xi) & cdots & sumi=0^n phi0(xi) phim(xi) sumi=0^n phi1(xi) phi0(xi) & sumi=0^n phi1(xi) phi1(xi) & cdots & sumi=0^n phi1(xi) phim(xi) vdots & vdots & ddots & vdots sumi=0^n phim(xi) phi0(xi) & sumi=0^n phim(xi) phi1(xi) & cdots & sumi=0^n phim(xi) phim(xi) ] times[c c0 c1 vdots cm ]=[c sumi=0^n yi phi0(xi) sumi=0^n yi phi1(xi) vdots sumi=0^n yi phim(xi) ]
de modo a minimizar o resíduo total R=sumi=0^n ri^2=sumi=0^n[phi(xi)-y(xi)]^2.
Obtenha uma aproximação do tipo phi(t)=1a+b t para a função f(t) :
t -6 -3 -1 1 3 6
f(t) 4 5 6 9 10 40

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra aproximar os pontos dados por uma função da forma

usando o Método dos Quadrados Mínimos. Isso é conteúdo de regressão e ajuste de curvas, mas aqui como a função é não-linear nos parâmetros e , a gente faz uma “mágica”: toma o inverso de pra linearizar. Então vai ser:
  1. transformar em ,
  2. ajustar ao modelo linear ,
  3. voltar pra .
    A gente vai precisar calcular somas tipo , , , e resolver o sistema normal de regressão linear.

Passo 2

Transformação e modelo linearizado
Definimos
zi=1yie ajustamos zi approx a + b,ti
As equações normais desse ajuste linear são
n,a + bsum ti = sum zi, asum ti + bsum ti^2 = sum ti,zi,
onde é o número de pontos.

Passo 3

Cálculo dos valores c|cccccc ti & -6 & -3 & -1 & 1 & 3 & 6hline yi & 4 & 5 & 6 & 9 &10 &40 e das somas
Dados:
zi = 1/yi = 0.25,;0.2,;0.1667,;0.1111,;0.1,;0.025
Então
sum ti = -6-3-1+1+3+6 = 0, sum zi = 0.25+0.2+0.1667+0.1111+0.1+0.025 approx 0.8528,
Agora as somas ( sum ti^2 = 36+9+1+1+9+36 = 92, sum ti,zi = (-6)(0.25)+(-3)(0.2)+(-1)(0.1667)+(1)(0.1111)+(3)(0.1)+(6)(0.025) approx -1.7056 ):

Passo 4

Resolvendo as normais
Como 6,a = 0.8528 Rightarrow a = dfrac0.85286 approx 0.14213,[6pt] bcdot 92 = -1.7056 Rightarrow b = dfrac-1.705692 approx -0.01854 , o sistema vira:

Resposta

A aproximação pelo Método dos Quadrados Mínimos é
boxedphi(t)=10.14213 ;-;0.01854,t

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