O Método dos Quadrados Mínimos visa obter uma aproximação para uma função da forma , onde os são escolhidos de acordo com o fenômeno e os valores de ci são determinados como solução do sistema normal:
de modo a minimizar o resíduo total R=sumi=0^n ri^2=sumi=0^n[phi(xi)-y(xi)]^2.
Obtenha uma aproximação do tipo phi(t)=1a+b t para a função f(t) :
t
-6
-3
-1
1
3
6
f(t)
4
5
6
9
10
40
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra aproximar os pontos dados por uma função da forma
usando o Método dos Quadrados Mínimos. Isso é conteúdo de regressão e ajuste de curvas, mas aqui como a função é não-linear nos parâmetros e , a gente faz uma “mágica”: toma o inverso de pra linearizar. Então vai ser:
transformar em ,
ajustar ao modelo linear ,
voltar pra .
A gente vai precisar calcular somas tipo , , , e resolver o sistema normal de regressão linear.
Passo 2
Transformação e modelo linearizado
Definimos
zi=1yie ajustamos zi approx a + b,ti
As equações normais desse ajuste linear são
n,a + bsum ti = sum zi, asum ti + bsum ti^2 = sum ti,zi,
onde é o número de pontos.
Passo 3
Cálculo dos valores c|cccccc ti & -6 & -3 & -1 & 1 & 3 & 6hline yi & 4 & 5 & 6 & 9 &10 &40 e das somas
Dados:
zi = 1/yi = 0.25,;0.2,;0.1667,;0.1111,;0.1,;0.025
Então
sum ti = -6-3-1+1+3+6 = 0, sum zi = 0.25+0.2+0.1667+0.1111+0.1+0.025 approx 0.8528,
Agora as somas ( sum ti^2 = 36+9+1+1+9+36 = 92, sum ti,zi = (-6)(0.25)+(-3)(0.2)+(-1)(0.1667)+(1)(0.1111)+(3)(0.1)+(6)(0.025) approx -1.7056 ):
Passo 4
Resolvendo as normais
Como 6,a = 0.8528 Rightarrow a = dfrac0.85286 approx 0.14213,[6pt] bcdot 92 = -1.7056 Rightarrow b = dfrac-1.705692 approx -0.01854 , o sistema vira: