Utilize o polinômio interpolador de Lagrange e de Newton de grau 1,
para aproximar cada um dos seguintes items:
(a)
se
e
18.82091
(b)
se
e
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar dois valores da função usando polinômios interpoladores de Lagrange e de Newton de grau 1, 2 e 3.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton).
O que vamos precisar:
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton).
O que vamos precisar:
- Fórmula de Lagrange:
- Fórmula de Newton (diferenças divididas):
onde
e as diferenças de ordem superior são definidas recursivamente.
Agora vamos calcular passo a passo para os dois itens, começando pelo grau 1.
Passo 2
Grau 1 (linear)
- Interpolador de Lagrange de grau 1 entre dois pontos
e :
(a) Queremos
. Escolhemos os dois pontos mais próximos:
e
.
O interpolador de Newton de grau 1 é
que dá o mesmo valor
.
(b) Queremos
. Pegamos os dois mais próximos:
,
.
Newton linear dá também
.
Passo 3
Grau 2 (quadrático)
Interpolador de Lagrange de grau 2 em três pontos :
Interpolador de Lagrange de grau 2 em três pontos
com
Também podemos usar Newton com diferenças divididas de ordem 1 e 2.
(a) Para
, usamos os três pontos mais próximos:
,
,
.
Aplicando Lagrange dá
Aplicando Lagrange dá
Newton (calculando as diferenças divididas) confirma
.
(b) Para
, usamos
,
,
.
Lagrange ou Newton dá
Lagrange ou Newton dá
Passo 4
Grau 3 (cúbico)
Interpolador de Lagrange de grau 3 em quatro pontos, ou Newton com diferenças até a terceira ordem.
Interpolador de Lagrange de grau 3 em quatro pontos, ou Newton com diferenças até a terceira ordem.
(a) Para
, os quatro dados são
.
O cálculo (Newton ou Lagrange) dá
O cálculo (Newton ou Lagrange) dá
(b) Para
, usamos
.
O resultado cúbico é
O resultado cúbico é
Resposta
(a) Para
:
- Grau 1: 17.87833
- Grau 2: 17.87713
- Grau 3: 17.87714
(b) Para
:
- Grau 1: 0.21504
- Grau 2: 0.18031
- Grau 3: 0.17431