Utilize o polinômio interpolador de Lagrange e de Newton de grau 1, 2 e 3 para aproximar cada um dos seguintes items:
(a) f(8.4) se f(8.1)=16.94410, f(8.3)=17: 56492, f(8.6)=18.50515 e f(8.7)= 18.82091
(b) f(-13) se f(-0.75)=-0.07181250, f(-0.5)=-0.02475000, f(-0.25)=0.33493750 e f(0)=1.10100000.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar dois valores da função usando polinômios interpoladores de Lagrange e de Newton de grau 1, 2 e 3.
Conteúdo: interpolação polinomial (Lagrange e Newton).
O que vamos precisar:
  • Fórmula de Lagrange:
Pn(x)=sumi=0^n f(xi);Li(x), Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^nx-xjxi-xj
  • Fórmula de Newton (diferenças divididas):
Pn(x) =f[x0] +sumk=1^n f[x0,dots,xk],(x-x0)cdots(x-xk-1),
onde
f[xi]=f(xi), f[xi,xi+1]=f(xi+1)-f(xi)xi+1-xi,
e as diferenças de ordem superior são definidas recursivamente.
Agora vamos calcular passo a passo para os dois itens, começando pelo grau 1.

Passo 2

Grau 1 (linear)
  1. Interpolador de Lagrange de grau 1 entre dois pontos P1(x) =f0x-x1x0-x1 +f1x-x0x1-x0 e P1(8.4) =17.564928.4-8.68.3-8.6 +18.505158.4-8.38.6-8.3 =17.87833 :
P1(x) =f(x0) +(x-x0)f(x1)-f(x0)x1-x0,
(a) Queremos P1l(-tfrac13r) =-0.02475-tfrac13+0.25-0.5+0.25 +0.3349375-tfrac13+0.5-0.25+0.5 =0.21504 . Escolhemos os dois pontos mais próximos:
e .
O interpolador de Newton de grau 1 é
que dá o mesmo valor .
(b) Queremos . Pegamos os dois mais próximos: , .
Newton linear dá também .

Passo 3

Grau 2 (quadrático)
Interpolador de Lagrange de grau 2 em três pontos P2(x) =f0L0(x)+f1L1(x)+f2L2(x), :
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2),; L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2),; L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)
com
P2(8.4)approx17.87713
Também podemos usar Newton com diferenças divididas de ordem 1 e 2.
(a) Para P2l(-tfrac13r)approx0.18031 , usamos os três pontos mais próximos:
, , .
Aplicando Lagrange dá
Newton (calculando as diferenças divididas) confirma .
(b) Para , usamos
, , .
Lagrange ou Newton dá

Passo 4

Grau 3 (cúbico)
Interpolador de Lagrange de grau 3 em quatro pontos, ou Newton com diferenças até a terceira ordem.
(a) Para P3(8.4)approx17.87714 , os quatro dados são
P3l(-tfrac13r)approx0.17431 .
O cálculo (Newton ou Lagrange) dá
(b) Para , usamos
.
O resultado cúbico é

Resposta

(a) Para :
  • Grau 1: 17.87833
  • Grau 2: 17.87713
  • Grau 3: 17.87714
(b) Para :
  • Grau 1: 0.21504
  • Grau 2: 0.18031
  • Grau 3: 0.17431

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