Quais dos métodos exatos estudados poderiam ser utilizados para resolver o sistema
l x1+2 x2+x3=3 2 x1+3 x2+x3=5 3 x1+5 x2+2 x3=1
Justifique a aplicação ou não de cada um dos métodos
d) Método de Gauss com pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, então a questão é: “posso usar o Método de Gauss com pivoteamento parcial pra resolver o sistema
x1+2x2+x3=3, 2x1+3x2+x3=5, 3x1+5x2+2x3=1?
Estamos em Álgebra Linear/Numerical Methods e, pra aplicar o Gauss com pivoteamento parcial, precisamos conseguir escolher em cada coluna um pivô não nulo (idealmente o maior em módulo) e ir eliminando de cima pra baixo.

Passo 2

O que é pivoteamento parcial?
  1. Na etapa (coluna ), você olha nas linhas de até qual tem o maior valor absoluto na coluna .
  2. Troca a linha com essa linha “maior”.
  3. Usa esse pivô pra zerar todas as entradas abaixo na mesma coluna.
    Isso evita pivô zero e melhora a estabilidade numérica.

Passo 3

Vamos à aplicação. Começamos pela coluna 1:
Matriz aumentada inicial
1 & 2 & 1 &|& 3 2 & 3 & 1 &|& 5 3 & 5 & 2 &|& 1
Na coluna 1, o maior em valor absoluto é 3 & 5 & 2 &|& 1 2 & 3 & 1 &|& 5 1 & 2 & 1 &|& 3 (linha 3). Troca linha 1↔3:
3 & 5 & 2 &|& 1 0 & -1/3 & -1/3 &|& 13/3 0 & 1/3 & 1/3 &|& 8/3
Agora pivô = 3. Eliminação:
  • L2 ← L2 – (2/3)·L1

    = .
  • L3 ← L3 – (1/3)·L1
    = .
Fica

Passo 4

Agora coluna 2 (para as linhas 2 e 3). Os valores em módulo são ambos 3 & 5 & 2 &|& 1 0 & 1/3 & 1/3 &|& 8/3 0 & -1/3 & -1/3 &|& 13/3 , mas dá pra escolher qualquer um. Se quisermos o maior positivo, trocamos L2↔L3:
Pivô é agora em (2,2). Eliminação:
  • L3 ← L3 + L2 (porque )
    = = .

Passo 5

Na terceira linha aparece
0cdot x1 + 0cdot x2 + 0cdot x3 = 7,
ou seja , o que é impossível. Logo o sistema é inconsistente.

Resposta

Sim, dá pra aplicar o Método de Gauss com pivoteamento parcial sem problemas: em cada coluna tínhamos pivô não nulo, fizemos as trocas, eliminamos e o processo revelou que o sistema não tem solução (inconsistente).

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