Após a fatoraçāo L U da matriz do sistema A x=b, \operatorname{com} b=(9 \cdot 3-2)^{T}, foram encontradas as matrizes
prof. Diama Sasaki
\left[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 1 \\\\ 0 & 10 / 3 & 5 / 3 \\\\ 0 & 0 & -7\end{array}\right] e \left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 1 / 3 & 1 & 0 \\\\ 4 / 3 & 8 / 5 & 1\end{array}\right]
Entāo o sistema A x=b é dado por:
(a) \left\{\begin{array}{ccc}3 x_{1}-4 x_{2}+x_{3} & = & -2 \\\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3} & = & 3 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{3} & = & 9\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{ccc}3 x_{1}-12 / 5 x_{2}+x_{3} & = & -2 \\\\ 10 x_{1}+6 x_{2}+5 / 3 x_{3} & = & 3 \\\\ -28 / 3 x_{1}-42 / 5 x_{2}-7 x_{3} & = & 9\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{array}{rlc}3 x_{1}-4 x_{2}+x_{3} & = & 9 \\\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3} & = & 3 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{3} & = & -2\end{array}\right.
(d) \left\{\begin{array}{ccc}3 x_{1}-12 / 5 x_{2}+x_{3} & = & 9 \\\\ 10 x_{1}+6 x_{2}+5 / 3 x_{3} & = & 3 \\\\ -28 / 3 x_{1}-42 / 5 x_{2}-7 x_{3} & = & -2\end{array}\right.
(e) Nāo sei.

Passo 1

O enunciado fornece:
b=\begin{pmatrix}9\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix}
e duas matrizes (vou chamá‑las pelos seus papéis usuais):
U=\begin{pmatrix}3 & -4 & 1\\[4pt]0 & 10/3 & 5/3\\[4pt]0 & 0 & -7\end{pmatrix}, \qquad L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]1/3 & 1 & 0\\[4pt]4/3 & 8/5 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual das alternativas (a)–(e) corresponde ao sistema linear A x=b, sabendo que A é a matriz do sistema e que foi obtida pela fatoração L U (ou seja, A=L U)?]

Passo 2

Breve explicação (mini‑aula) sobre o que vamos usar: numa fatoração A=L U, a matriz L é triangular inferior com uns na diagonal (cada L_{ij} para i>j é um multiplicador das operações de eliminação) e U é triangular superior. Para recuperar a matriz do sistema multiplicamos
A=L U.
A regra geral para multiplicação de matrizes é: o elemento A_{ij} é
A_{ij}=\sum_{k=1}^{3} L_{ik}\,U_{kj}.
Vou aplicar essa fórmula para cada linha de A. Não tenha medo das frações — vamos simplificar passo a passo.

Passo 3

Calculemos a primeira linha de A. A primeira linha de L é (1,0,0), portanto
\text{(linha 1 de }A) = 1\cdot\text{(linha 1 de }U) + 0\cdot\text{(linha 2 de }U) + 0\cdot\text{(linha 3 de }U).
Ou seja
\text{(linha 1 de }A) = (3,\,-4,\,1).
Portanto a primeira linha de A é (3,-4,1).

Passo 4

Calculemos a segunda linha de A. A segunda linha de L é \bigl(1/3,\,1,\,0\bigr). Usando a soma linear das linhas de U:
\text{(linha 2 de }A) = \tfrac{1}{3}\cdot(3,-4,1) + 1\cdot(0,10/3,5/3).
Agora calculo cada componente:
  • primeira componente: \tfrac{1}{3}\cdot 3 + 0 = 1.
  • segunda componente: \tfrac{1}{3}\cdot(-4) + \tfrac{10}{3} = -\tfrac{4}{3} + \tfrac{10}{3} = \tfrac{6}{3} = 2.
  • terceira componente: \tfrac{1}{3}\cdot 1 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{1}{3} + \tfrac{5}{3} = \tfrac{6}{3} = 2.
Logo a segunda linha de A é (1,\,2,\,2).

Passo 5

Calculemos a terceira linha de A. A terceira linha de L é \bigl(4/3,\,8/5,\,1\bigr). Assim
\text{(linha 3 de }A)=\tfrac{4}{3}\cdot(3,-4,1)+\tfrac{8}{5}\cdot(0,10/3,5/3)+1\cdot(0,0,-7).
Faço cada termo separadamente:
  • \tfrac{4}{3}\cdot(3,-4,1) = (4,\,-\tfrac{16}{3},\,\tfrac{4}{3}).
  • \tfrac{8}{5}\cdot(0,10/3,5/3) = \bigl(0,\;\tfrac{8}{5}\cdot\tfrac{10}{3},\;\tfrac{8}{5}\cdot\tfrac{5}{3}\bigr) = \bigl(0,\;\tfrac{80}{15},\;\tfrac{40}{15}\bigr) = \bigl(0,\;\tfrac{16}{3},\;\tfrac{8}{3}\bigr).
  • o último é (0,0,-7).
Somando componente a componente:
  • primeira componente: 4+0+0=4.
  • segunda componente: -\tfrac{16}{3}+\tfrac{16}{3}+0=0.
  • terceira componente: \tfrac{4}{3}+\tfrac{8}{3}-7=\tfrac{12}{3}-7=4-7=-3.
Portanto a terceira linha de A é (4,\,0,\,-3).

Passo 6

Juntando as três linhas obtemos a matriz A\): \[A=\begin{pmatrix}3 & -4 & 1\\[4pt]1 & 2 & 2\\[4pt]4 & 0 & -3\end{pmatrix}.
O sistema A x=b corresponde então ao sistema de equações:
\begin{cases} 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=9,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=3,\\[4pt] 4x_{1}+0\cdot x_{2}-3x_{3}=-2. \end{cases}
Note que usei exatamente o vetor (b= \begin{pmatrix}9\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix}] fornecido no enunciado como termos independentes.]

Passo 7

Agora comparemos com as alternativas dadas. A alternativa que tem as três equações
3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=9,\qquad x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=3,\qquad 4x_{1}-3x_{3}=-2
é a alternativa (c). As outras alternativas ou permutam os termos independentes ou têm coeficientes diferentes.

Resposta

(c)

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