Resolver o sistema de equações não lineares abaixo, utilizando o método de Newton modificado com precisão
.
Considere
como aproximação inicial e utilize decomposição LU para resolver os sistemas lineares.
Considere
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva o sistema
usando o método de Newton modificado com precisão
, tomando como aproximação inicial
e resolvendo os sistemas lineares por decomposição LU.
Informações dadas e o que é pedido:
Equações do sistema:
e
.
Ponto inicial:
.
Critério de parada: norma da correção
.
Método: Newton modificado (Jacobiando “congelado” em
) e resolver cada sistema linear com LU.
A resolução numérica começa a partir dessas informações.]
Informações dadas e o que é pedido:
A resolução numérica começa a partir dessas informações.]
Passo 2
Defino o vetor de funções
A Jacobiana geral é
No método de Newton modificado nós “congelamos” a Jacobiana no ponto inicial
e usamos a mesma matriz Jacobiana em todas as iterações. Avaliando em
temos
Agora faço a decomposição LU (Doolittle) de
. Procuro
(com 1s na diagonal) e
tal que
.
Tomando ,
. Então
. E
Tomando
Logo
e de fato
.
Comentário prático: para cada iteração vamos calcular e resolver
Comentário prático: para cada iteração vamos calcular
usando as substituições direta (forward) com
e retro (back) com
. Como observação útil (e que facilita a conta), a inversa de
é simples:
portanto a solução
dá, em termos de
,
Essa fórmula é algebraicamente equivalente a resolver com LU; eu a usarei para calcular rapidamente
, lembrando que a decomposição LU foi feita e é a maneira indicada para resolver os sistemas.]
Passo 3
Critério das iterações: com
, onde
é a solução de
. Paro quando
. Vou computar as iterações uma a uma, mostrando
, a correção
, a norma
e o novo
.
Iteração 1 (a partir de
):
Pela fórmula,
Norma
Atualizo
Passo 4
Iteração 2 (em
):
Correção:
Norma
Atualizo
Passo 5
Iteração 3 (em
):
Calculei precisamente (frações com denominador ):
Calculei precisamente (frações com denominador
Correção (pela fórmula):
Norma
Atualizo (valores exatos em potências de 2):
Passo 6
Iteração 4 (em
): cálculos exatos via frações deram
Correção:
Norma
Atualizo
Passo 7
Iteração 5 (em
mostrado acima): calculando
(apróximados com boa precisão)
Correção:
Norma
Atualizo
Passo 8
Iteração 6 (em
):
Cálculos aproximados dão
Cálculos aproximados dão
Correção:
Norma
Atualizo
Passo 9
Iteração 7 (em
):
Com os valores aproximados
Com os valores aproximados
correção
Norma
Portanto o critério de parada
é satisfeito nesta iteração. Atualizo