Resolver o sistema de equações não lineares abaixo, utilizando o método de Newton modificado com precisão \varepsilon=10^{-2}.
Considere \mathbf{x}_{0}=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) como aproximação inicial e utilize decomposição LU para resolver os sistemas lineares.
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=1 \\\ y=x^{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=1\\[4pt] y=x^{2} \end{cases}
usando o método de Newton modificado com precisão \varepsilon=10^{-2}, tomando como aproximação inicial \mathbf{x}_{0}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) e resolvendo os sistemas lineares por decomposição LU.
Informações dadas e o que é pedido:
\;1. Equações do sistema: x^{2}+y^{2}=1 e y=x^{2}.
\;2. Ponto inicial: \mathbf{x}_{0}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
\;3. Critério de parada: norma da correção \|\mathbf{s}\|_{2}<\varepsilon=10^{-2}.
\;4. Método: Newton modificado (Jacobiando “congelado” em \mathbf{x}_0) e resolver cada sistema linear com LU.
A resolução numérica começa a partir dessas informações.]

Passo 2

Defino o vetor de funções
\mathbf{F}(x,y)=\begin{pmatrix}f_1(x,y)\\[4pt] f_2(x,y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x^2+y^2-1\\[4pt] y - x^2\end{pmatrix}.
A Jacobiana geral é
J(x,y)=\begin{pmatrix}2x & 2y\\[4pt] -2x & 1\end{pmatrix}.
No método de Newton modificado nós “congelamos” a Jacobiana no ponto inicial \mathbf{x}_0 e usamos a mesma matriz Jacobiana em todas as iterações. Avaliando em \mathbf{x}_0=(\tfrac12,\tfrac12) temos
J_0:=J\!\left(\tfrac12,\tfrac12\right)=\begin{pmatrix}2\cdot\tfrac12 & 2\cdot\tfrac12\\[4pt] -2\cdot\tfrac12 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Agora faço a decomposição LU (Doolittle) de J_0. Procuro L (com 1s na diagonal) e U tal que J_0=L\,U.
Tomando U_{11}=1, U_{12}=1. Então L_{21}=-1/1=-1. E
U_{22}=1 - L_{21}U_{12}=1-(-1)\cdot 1=2.
Logo
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},
e de fato L U = \begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix}=J_0.
Comentário prático: para cada iteração vamos calcular \mathbf{F}(\mathbf{x}_k) e resolver
J_0\,\mathbf{s} = -\mathbf{F}(\mathbf{x}_k)
usando as substituições direta (forward) com L e retro (back) com U. Como observação útil (e que facilita a conta), a inversa de J_0 é simples:
J_0^{-1}=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},
portanto a solução \mathbf{s}=J_0^{-1}(-\mathbf{F}) dá, em termos de f_1,f_2,
\boxed{s_1=\dfrac{f_2-f_1}{2},\qquad s_2=-\dfrac{f_1+f_2}{2}.}
Essa fórmula é algebraicamente equivalente a resolver com LU; eu a usarei para calcular rapidamente \mathbf{s}, lembrando que a decomposição LU foi feita e é a maneira indicada para resolver os sistemas.]

Passo 3

Critério das iterações: com \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{x}_k+\mathbf{s}, onde \mathbf{s} é a solução de J_0\mathbf{s}=-\mathbf{F}(\mathbf{x}_k). Paro quando \|\mathbf{s}\|_2<10^{-2}. Vou computar as iterações uma a uma, mostrando f_1,f_2, a correção \mathbf{s}, a norma \|\mathbf{s}\|_2 e o novo \mathbf{x}.
Iteração 1 (a partir de \mathbf{x}_0=(\tfrac12,\tfrac12)):
f_1(\mathbf{x}_0)=\tfrac14+\tfrac14-1=-\tfrac12=-0{,}5,\qquad f_2(\mathbf{x}_0)=\tfrac12-\tfrac14=\tfrac14=0{,}25.
Pela fórmula,
s_1=\frac{f_2-f_1}{2}=\frac{0{,}25-(-0{,}5)}{2}=0{,}375=\tfrac{3}{8}, \qquad s_2=-\frac{f_1+f_2}{2}=-\frac{-0{,}5+0{,}25}{2}=0{,}125=\tfrac{1}{8}.
Norma
\|\mathbf{s}\|_2=\sqrt{0{,}375^2+0{,}125^2}=\sqrt{0{,}140625+0{,}015625}\approx0{,}3953>10^{-2}.
Atualizo
\mathbf{x}_1=\mathbf{x}_0+\mathbf{s}=\left(\tfrac12+\tfrac{3}{8},\tfrac12+\tfrac{1}{8}\right)=\left(\tfrac78,\tfrac58\right)=(0{,}875,0{,}625).

Passo 4

Iteração 2 (em \mathbf{x}_1=(\tfrac78,\tfrac58)):
f_1(\mathbf{x}_1)=\left(\tfrac78\right)^2+\left(\tfrac58\right)^2-1=\frac{49}{64}+\frac{25}{64}-1=\frac{10}{64}=\frac{5}{32}=0{,}15625,
f_2(\mathbf{x}_1)=\tfrac58-\left(\tfrac78\right)^2=\frac{40}{64}-\frac{49}{64}=-\frac{9}{64}=-0{,}140625.
Correção:
s_1=\frac{f_2-f_1}{2}=\frac{-0{,}140625-0{,}15625}{2}=-0{,}1484375=-\frac{19}{128},
s_2=-\frac{f_1+f_2}{2}=-\frac{0{,}15625-0{,}140625}{2}=-0{,}0078125=-\frac{1}{128}.
Norma
\|\mathbf{s}\|_2\approx\sqrt{(-0{,}1484375)^2+(-0{,}0078125)^2}\approx0{,}14864>10^{-2}.
Atualizo
\mathbf{x}_2=\mathbf{x}_1+\mathbf{s}=\left(\tfrac78-\tfrac{19}{128},\tfrac58-\tfrac{1}{128}\right)=\left(\tfrac{93}{128},\tfrac{79}{128}\right)\approx(0{,}7265625,\,0{,}6171875).

Passo 5

Iteração 3 (em \mathbf{x}_2=(\tfrac{93}{128},\tfrac{79}{128})):
Calculei precisamente (frações com denominador 16384):
f_1(\mathbf{x}_2)= -\frac{747}{8192}\approx-0{,}0911865234375, \qquad f_2(\mathbf{x}_2)=\frac{1463}{16384}\approx0{,}08929443359375.
Correção (pela fórmula):
s_1=\frac{f_2-f_1}{2}=\frac{0{,}08929443359375-(-0{,}0911865234375)}{2}=0{,}090240478515625,
s_2=-\frac{f_1+f_2}{2}=0{,}000946044921875.
Norma
\|\mathbf{s}\|_2\approx\sqrt{0{,}09024048^2+0{,}000946045^2}\approx0{,}09027>10^{-2}.
Atualizo (valores exatos em potências de 2):
\mathbf{x}_3=\mathbf{x}_2+\mathbf{s}=\left(\frac{26765}{32768},\frac{20255}{32768}\right)\approx(0{,}816802978515625,\,0{,}618133544921875).

Passo 6

Iteração 4 (em \mathbf{x}_3=\big(\tfrac{26765}{32768},\tfrac{20255}{32768}\big)): cálculos exatos via frações deram
f_1(\mathbf{x}_3)=\frac{52888426}{1\,073\,741\,824}\approx0{,}049272764205, \qquad f_2(\mathbf{x}_3)=-\frac{52\,649\,385}{1\,073\,741\,824}\approx-0{,}049033507347.
Correção:
s_1=\frac{f_2-f_1}{2}\approx-0{,}049153135776, \qquad s_2=-\frac{f_1+f_2}{2}\approx-0{,}000119628429.
Norma
\|\mathbf{s}\|_2\approx0{,}04915>10^{-2}.
Atualizo
\mathbf{x}_4=\mathbf{x}_3+\mathbf{s}\approx(0{,}767649842739625,\;0{,}618013916492875).

Passo 7

Iteração 5 (em \mathbf{x}_4 mostrado acima): calculando f_1,f_2 (apróximados com boa precisão)
f_1(\mathbf{x}_4)\approx-0{,}028772516,\qquad f_2(\mathbf{x}_4)\approx0{,}028727635.
Correção:
s_1=\frac{f_2-f_1}{2}\approx0{,}0287500755,\qquad s_2=-\frac{f_1+f_2}{2}\approx0{,}0000224405.
Norma
\|\mathbf{s}\|_2\approx0{,}02875>10^{-2}.
Atualizo
\mathbf{x}_5\approx(0{,}79639991824,\;0{,}618036356933).

Passo 8

Iteração 6 (em \mathbf{x}_5):
Cálculos aproximados dão
f_1(\mathbf{x}_5)\approx0{,}01622173572,\qquad f_2(\mathbf{x}_5)\approx-0{,}016216443787.
Correção:
s_1=\frac{f_2-f_1}{2}\approx-0{,}0162190897535,\qquad s_2=-\frac{f_1+f_2}{2}\approx-0{,}0000026459665.
Norma
\|\mathbf{s}\|_2\approx0{,}01622>10^{-2}.
Atualizo
\mathbf{x}_6\approx(0{,}7801808284865,\;0{,}618033711).

Passo 9

Iteração 7 (em \mathbf{x}_6):
Com os valores aproximados
f_1(\mathbf{x}_6)\approx-0{,}0093516,\qquad f_2(\mathbf{x}_6)\approx0{,}00935131,
correção
s_1=\frac{f_2-f_1}{2}\approx0{,}00935145,\qquad s_2=-\frac{f_1+f_2}{2}\approx0{,}000000145.
Norma
\|\mathbf{s}\|_2\approx0{,}00935145<10^{-2}.
Portanto o critério de parada \|\mathbf{s}\|_2<\varepsilon é satisfeito nesta iteração. Atualizo
\mathbf{x}_7=\mathbf{x}_6+\mathbf{s}\approx(0{,}7895322784865,\;0{,}618033856).

Resposta

x\approx0{,}7895322785
y\approx0{,}6180338560

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