Preencha as lacunas com quatro casas decimais e utilizando notação em ponto-fixo.
Considere a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos (\mathrm{x})-\sin (\mathrm{x}) e uma aproximação inicial para um de seus zeros \mathrm{x}_{0}=1.3.
Pode-se utilizar o método de Newton para refinar a aproximação x0, obtendo X1. Preencha com o valor de X1:
\mathrm{x}_{1}= ?
Com duas aproximações iniciais, x0 e x1, pode-se utilizar o método das Secantes para obter x2. Preencha com o valor de x2:
\mathrm{x}_{2}= ?

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton em
f(x)=\cos(x)-\sin(x),
com x_{0}=1{,}3000, e depois usar o método das secantes com x_{0} e x_{1} para obter x_{2}.
Para Newton precisamos de
f'(x)=-\sin(x)-\cos(x).

Passo 2

Calculamos primeiro em x_{0}=1{,}3000:
f(1{,}3000)=\cos(1{,}3000)-\sin(1{,}3000)\approx0{,}2672-0{,}9636=-0{,}6964,
f'(1{,}3000)=-\sin(1{,}3000)-\cos(1{,}3000)\approx-0{,}9636-0{,}2672=-1{,}2308.
Em seguida a iteração de Newton
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} =1{,}3000-\frac{-0{,}6964}{-1{,}2308} \approx1{,}3000-0{,}5657=0{,}7343.

Passo 3

Agora usamos o método das secantes com x_{0}=1{,}3000 e x_{1}=0{,}7343. Calculamos
f(0{,}7343)=\cos(0{,}7343)-\sin(0{,}7343)\approx0{,}7421-0{,}6700=0{,}0721.
A fórmula da secante dá
x_{2} =x_{1}-f(x_{1})\,\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =0{,}7343 -\;0{,}0721\,\frac{0{,}7343-1{,}3000}{0{,}0721-(-0{,}6964)} \approx0{,}7873.

Resposta

x_{1}=0{,}7343 x_{2}=0{,}7873

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