Minimização do Consumo de Combustível em um Veículo
Um engenheiro automotivo está ajustando a rotação do motor para minimizar o consumo de combustível de um veículo. A função de consumo de combustível em função da rotação
(em rpm) é dada por
.
Utilize o método da secante para encontrar a rotação ótima que minimiza o consumo de
combustível. Discuta a escolha do método e a precisão necessária para garantir que o consumo de combustível seja minimizado em condições reais de operação.
Um engenheiro automotivo está ajustando a rotação do motor para minimizar o consumo de combustível de um veículo. A função de consumo de combustível em função da rotação
Utilize o método da secante para encontrar a rotação ótima que minimiza o consumo de
combustível. Discuta a escolha do método e a precisão necessária para garantir que o consumo de combustível seja minimizado em condições reais de operação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente tem uma função de consumo de combustível em função da rotação do motor
e quer minimizar esse consumo.
Conteúdo: é um problema de otimização que a gente resolve encontrando onde a derivada é zero (ponto crítico) e, pra achar essa raiz da derivada, usamos o método da secante (um método numérico de “caça-raiz” que não exige derivadas exatas, só valores da função).
O que vamos precisar:
Conteúdo: é um problema de otimização que a gente resolve encontrando onde a derivada é zero (ponto crítico) e, pra achar essa raiz da derivada, usamos o método da secante (um método numérico de “caça-raiz” que não exige derivadas exatas, só valores da função).
O que vamos precisar:
- Calcular a derivada
. - Montar a iteração da secante pra achar
tal que . - Escolher palpites iniciais e critério de parada (precisão).
Passo 2
Primeiro, a gente deriva
pra achar o tal do
:
Como mínimo acontece quando a derivada zera, queremos resolver
Em vez de isolar diretamente (que daria
), vamos usar secante, que é o pedido do exercício.
Passo 3
O método da secante faz isso: dados dois palpites
e
, a próxima estimativa é
Vamos escolher, por exemplo,
Calculemos:
f(R_0)=0.5-0.006·50=0.5-0.3=0.2,
f(R_1)=0.5-0.006·200=0.5-1.2=-0.7.
Logo,
f(R_0)=0.5-0.006·50=0.5-0.3=0.2,
f(R_1)=0.5-0.006·200=0.5-1.2=-0.7.
Logo,
Aí já deu
! Em outras palavras, convergiu em uma iteração porque
é linear.
Passo 4
Precisão e escolha do método:
– Por que secante? Porque ele não exige fórmula da segunda derivada, só valores de .
– Critério de parada: a gente costuma pedir . Se
rpm, você garante menos de 0.01 rpm de erro, o que é mais que suficiente diante das variações reais de motor (geralmente ±10 rpm).
– Em condições reais, o sensor de rotação já tem uma resolução de uns “pulsos” que dão, digamos, ±1 rpm, então parar em 0.01 rpm é superconfiável.
– Por que secante? Porque ele não exige fórmula da segunda derivada, só valores de
– Critério de parada: a gente costuma pedir
– Em condições reais, o sensor de rotação já tem uma resolução de uns “pulsos” que dão, digamos, ±1 rpm, então parar em 0.01 rpm é superconfiável.
Resposta
A rotação ótima que minimiza o consumo é