Minimização do Consumo de Combustível em um Veículo
Um engenheiro automotivo está ajustando a rotação do motor para minimizar o consumo de combustível de um veículo. A função de consumo de combustível em função da rotação R (em rpm) é dada por F(R)=0.5 R-0.003 R^wed>= 2+500.
Utilize o método da secante para encontrar a rotação ótima que minimiza o consumo de
combustível. Discuta a escolha do método e a precisão necessária para garantir que o consumo de combustível seja minimizado em condições reais de operação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente tem uma função de consumo de combustível em função da rotação do motor
F(R)=0.5,R ;-;0.003,R^2 ;+;500
e quer minimizar esse consumo.
Conteúdo: é um problema de otimização que a gente resolve encontrando onde a derivada é zero (ponto crítico) e, pra achar essa raiz da derivada, usamos o método da secante (um método numérico de “caça-raiz” que não exige derivadas exatas, só valores da função).
O que vamos precisar:
  • Calcular a derivada .
  • Montar a iteração da secante pra achar tal que .
  • Escolher palpites iniciais e critério de parada (precisão).

Passo 2

Primeiro, a gente deriva F'(R)=ddRl(0.5,R -0.003,R^2 +500r) =0.5 -0.006,R pra achar o tal do f(R)equiv F'(R)=0.5 -0.006,R = 0 :
Como mínimo acontece quando a derivada zera, queremos resolver
Em vez de isolar diretamente (que daria ), vamos usar secante, que é o pedido do exercício.

Passo 3

O método da secante faz isso: dados dois palpites Rn+1 ;=; Rn ;-; f(Rn),Rn - Rn-1f(Rn)-f(Rn-1) e R0=50, R1=200 , a próxima estimativa é
R2 = 200 ;-;(-0.7),200-50-0.7-0.2 =200 - l(-0.7cdot150/(-0.9)r) =200 -116.666dots =83.333dots
Vamos escolher, por exemplo,
Calculemos:
f(R_0)=0.5-0.006·50=0.5-0.3=0.2,
f(R_1)=0.5-0.006·200=0.5-1.2=-0.7.
Logo,
Aí já deu ! Em outras palavras, convergiu em uma iteração porque é linear.

Passo 4

Precisão e escolha do método:
– Por que secante? Porque ele não exige fórmula da segunda derivada, só valores de .
– Critério de parada: a gente costuma pedir . Se rpm, você garante menos de 0.01 rpm de erro, o que é mais que suficiente diante das variações reais de motor (geralmente ±10 rpm).
– Em condições reais, o sensor de rotação já tem uma resolução de uns “pulsos” que dão, digamos, ±1 rpm, então parar em 0.01 rpm é superconfiável.

Resposta

A rotação ótima que minimiza o consumo é
boxedR approx 83,33 rpm

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