Otimização do Tempo de Cozimento em um Processo de Produção Alimentícia
Em uma fábrica de alimentos, o tempo de cozimento de um determinado produto afeta diretamente a sua qualidade. A função que representa o índice de qualidade em função do tempo t (em minutos) é Q(t)=-0.1 t^wed>= 2+4 t-20.
Aplique o método de Newton para encontrar o tempo t que maximiza a qualidade do produto. Explique como o tempo de cozimento ótimo pode impactar a qualidade final e a produtividade do processo.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar o tempo de cozimento que dá máxima qualidade pra nossa função
!
Q(t) = -0.1,t^2 + 4,t - 20
Isso é derivada e método de Newton (que serve pra encontrar raízes de funções). A gente vai precisar:
1) Calcular a derivada , porque o máximo acontece quando .
2) Aplicar o método de Newton em pra achar a raiz.

Passo 2

Primeiro, derivada de Q'(t) ;=;ddtl(-0.1,t^2 + 4t -20r) = -0.2,t + 4:
Usamos a regra de potência .
$$Q’(t) ;=;\frac{d}{dt}\bigl(-0.1,t^2 + 4t -20\bigr)
= -0.2,t + 4$$

Passo 3

No método de Newton queremos resolver f(t)=Q'(t)=-0.2,t+4, . Aqui\n
tn+1 ;=; tn ;-;f(tn)f'(tn),
A fórmula de Newton é
Então a gente precisa também de .

Passo 4

Derivada de f'(t)=ddt(-0.2,t+4) = -0.2, :

Passo 5

Vamos escolher um chute inicial qualquer, tipo f(10) = -0.2cdot10 + 4 = -2 +4 = 2 (minutos):
  1. Calcular t1 = 10 ;-;2-0.2 = 10 - (-10) = 20 :
f(20) = -0.2cdot20 + 4 = -4 +4 = 0 Longrightarrow t2 = 20 - tfrac0-0.2 = 20
  1. Calcular :
  1. Se tentarmos de novo,
Pronto, convergiu em minutos.

Passo 6

Pra garantir que isso é máximo, a segunda derivada de Q''(t)=ddt(-0.2,t+4)=-0.2<0, é
ou seja, concavidade para baixo → ponto de máximo.
Em termos práticos, cozinhar por 20 min dá a maior qualidade. Se cozinhar menos ou mais, a qualidade cai. Também significa um ponto de equilíbrio: nem subcozimento (produto cru) nem supercozimento (queima ou resseca), garantindo boa produtividade sem desperdício de tempo.

Resposta

O tempo de cozimento ótimo é minutos.

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