Otimização do Tempo de Cozimento em um Processo de Produção Alimentícia
Em uma fábrica de alimentos, o tempo de cozimento de um determinado produto afeta diretamente a sua qualidade. A função que representa o índice de qualidade em função do tempo
(em minutos) é
.
Aplique o método de Newton para encontrar o tempo t que maximiza a qualidade do produto. Explique como o tempo de cozimento ótimo pode impactar a qualidade final e a produtividade do processo.
Em uma fábrica de alimentos, o tempo de cozimento de um determinado produto afeta diretamente a sua qualidade. A função que representa o índice de qualidade em função do tempo
Aplique o método de Newton para encontrar o tempo t que maximiza a qualidade do produto. Explique como o tempo de cozimento ótimo pode impactar a qualidade final e a produtividade do processo.
Passo 1
Isso é derivada e método de Newton (que serve pra encontrar raízes de funções). A gente vai precisar:
1) Calcular a derivada
2) Aplicar o método de Newton em
Passo 2
Primeiro, derivada de
:
Usamos a regra de potência .
Usamos a regra de potência
$$Q’(t) ;=;\frac{d}{dt}\bigl(-0.1,t^2 + 4t -20\bigr)
= -0.2,t + 4$$
Passo 3
No método de Newton queremos resolver
. Aqui\n
A fórmula de Newton é
Então a gente precisa também de
.
Passo 4
Derivada de
:
Passo 5
Vamos escolher um chute inicial qualquer, tipo
(minutos):
- Calcular
:
- Calcular
:
- Se tentarmos de novo,
Pronto, convergiu em
minutos.
Passo 6
Pra garantir que isso é máximo, a segunda derivada de
é
ou seja, concavidade para baixo → ponto de máximo.
Em termos práticos, cozinhar por 20 min dá a maior qualidade. Se cozinhar menos ou mais, a qualidade cai. Também significa um ponto de equilíbrio: nem subcozimento (produto cru) nem supercozimento (queima ou resseca), garantindo boa produtividade sem desperdício de tempo.
Resposta
O tempo de cozimento ótimo é
minutos.