Projeto de Produto com Interpolação Quadrática
Uma equipe de engenharia deseja projetar uma peça para minimizar a resistência aerodinâmica, representada pela função
, onde
é uma variável de design. Use o método de interpolação quadrática para encontrar o valor de x que minimiza a resistência aerodinâmica no intervalo [0, 4]. Explique a adequação do método de interpolação quadrática para este tipo de problema e compare com outros métodos.
Uma equipe de engenharia deseja projetar uma peça para minimizar a resistência aerodinâmica, representada pela função
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente minimizar a função
no intervalo
usando o método de interpolação quadrática. Isso cai na matéria de “otimização numérica” (especialmente métodos sem derivada/exploratórios). Para resolver vamos precisar de:
- Noção de função unimodal (tem só um vale dentro do intervalo).
- Como ajustar um polinômio de grau 2 a três pontos
. - A fórmula do vértice desse polinômio (que dá o próximo palpite).
Passo 2
Primeiro, monto um “bracket” inicial com três pontos dentro de
. Pra facilitar, escolho
Calculo os valores:
A ideia da interpolação quadrática é ajustar um polinômio
de modo que
em
, e usar seu vértice
como próximo palpite.
Passo 3
Em vez de resolver sistema, dá pra usar a forma direta do vértice:
Substituindo nossos números:
Logo
Passo 4
Agora calculo
Comparando
com
: o menor é ainda
. Isso diz que o mínimo está perto de
. Então eu descarto o ponto que deu maior valor (aqui foi
ou
, tanto faz) e refaço a tripla, sempre “encolhendo” o intervalo em que há vale. Repetindo esse processo várias vezes, o bracket vai se aproximar de
.
Passo 5
Na prática, a gente vê que
o tempo todo, então a função nunca desce pra baixo de
; ela é crescente (com platô em
). Logo o menor valor em
é mesmo na borda esquerda,
.
Por que falar do método de interpolação quadrática?
- É rápido (ordem de convergência superlinear) quando a função é bem comportada e “curvada” no mínimo.
- Mas exige três pontos com curvatura bem definida. Se a função for quase linear ou monotônica, o polinômio pode degenerar (como vimos em outro bracket) e emperrar.
Comparando com outros métodos:
- Seção áurea não precisa de curvatura e é robusta, mas convergência é só linear.
- Newton/Raphson usa derivadas e é ótimo em problemas suaves, mas aqui
dá galho (ponto de inflexão).
Resposta
O valor de
que minimiza
em
é