Projeto de Produto com Interpolação Quadrática
Uma equipe de engenharia deseja projetar uma peça para minimizar a resistência aerodinâmica, representada pela função R(x)=x^wed>= 3-6 x^wed>= 2+12 x+15, onde x é uma variável de design. Use o método de interpolação quadrática para encontrar o valor de x que minimiza a resistência aerodinâmica no intervalo [0, 4]. Explique a adequação do método de interpolação quadrática para este tipo de problema e compare com outros métodos.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente minimizar a função
R(x)=x^3-6x^2+12x+15
no intervalo usando o método de interpolação quadrática. Isso cai na matéria de “otimização numérica” (especialmente métodos sem derivada/exploratórios). Para resolver vamos precisar de:
  • Noção de função unimodal (tem só um vale dentro do intervalo).
  • Como ajustar um polinômio de grau 2 a três pontos .
  • A fórmula do vértice desse polinômio (que dá o próximo palpite).

Passo 2

Primeiro, monto um “bracket” inicial com três pontos dentro de x0=0, x1=1, x2=2. Pra facilitar, escolho
f0&=R(0)=15, f1&=R(1)=1-6+12+15=22, f2&=R(2)=8-24+24+15=23
Calculo os valores:
q(x)=ax^2+bx+c
A ideia da interpolação quadrática é ajustar um polinômio
x3 ;=; -b2a
de modo que em , e usar seu vértice
como próximo palpite.

Passo 3

Em vez de resolver sistema, dá pra usar a forma direta do vértice:
x3 ;=; x1 ;-;12, (x1-x0)^2(f1-f2);-;(x1-x2)^2(f1-f0) (x1-x0)(f1-f2);-;(x1-x2)(f1-f0)
Substituindo nossos números:
&(x1-x0)=1,(f1-f2)=22-23=-1, &(x1-x2)=-1,(f1-f0)=22-15=7
Logo
x3 =1 ;-;tfrac12, 1^2cdot(-1);-;(-1)^2cdot7 1cdot(-1);-;(-1)cdot7 =1 - tfrac12;-1-7-1+7 =1 - tfrac12;-86 =1 + tfrac46 approx1.667

Passo 4

Agora calculo
f3=R(1.667)approx(1.667)^3-6(1.667)^2+12(1.667)+15approx22.96
Comparando com : o menor é ainda . Isso diz que o mínimo está perto de . Então eu descarto o ponto que deu maior valor (aqui foi ou , tanto faz) e refaço a tripla, sempre “encolhendo” o intervalo em que há vale. Repetindo esse processo várias vezes, o bracket vai se aproximar de .

Passo 5

Na prática, a gente vê que o tempo todo, então a função nunca desce pra baixo de ; ela é crescente (com platô em ). Logo o menor valor em é mesmo na borda esquerda, .
Por que falar do método de interpolação quadrática?
  • É rápido (ordem de convergência superlinear) quando a função é bem comportada e “curvada” no mínimo.
  • Mas exige três pontos com curvatura bem definida. Se a função for quase linear ou monotônica, o polinômio pode degenerar (como vimos em outro bracket) e emperrar.
Comparando com outros métodos:
  • Seção áurea não precisa de curvatura e é robusta, mas convergência é só linear.
  • Newton/Raphson usa derivadas e é ótimo em problemas suaves, mas aqui dá galho (ponto de inflexão).

Resposta

O valor de boxedx^*=0 que minimiza em é

Exercícios relacionados