Mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para todo
,
Conteúdo: somas de recíprocos (harmônicas), séries alternadas e telescópicas.
O que vamos precisar:
• Entender o número harmônico .
• Separar as somas em termos pares e ímpares.
• Usar que a soma de termos pares até é
.
O que vamos precisar:
• Entender o número harmônico
• Separar as somas em termos pares e ímpares.
• Usar que a soma de termos pares até
Passo 2
Primeiro, define o número harmônico
Então
Mas a parte “par” dá
Logo a soma dos termos ímpares é
Passo 3
O lado esquerdo do enunciado é “soma dos ímpares” menos “soma dos pares”:
E, por definição de harmônicos,
Resposta
Demonstrado!