Mostre que
1-12+13-ldots+12 n-1-12 n=1n+1+1n+2+ldots+12 n
para todo n in N.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, para todo 1 - 12 + 13 - 14 + cdots + 12n-1 - 12n ;=; 1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n ,
Conteúdo: somas de recíprocos (harmônicas), séries alternadas e telescópicas.
O que vamos precisar:
• Entender o número harmônico .
• Separar as somas em termos pares e ímpares.
• Usar que a soma de termos pares até é .

Passo 2

Primeiro, define o número harmônico
Hm = sumk=1^m 1k
Então
H2n ;=; l(1 + tfrac13 + tfrac15 + cdots + tfrac12n-1r) ;+; l(tfrac12 + tfrac14 + tfrac16 + cdots + tfrac12nr)
Mas a parte “par” dá
tfrac12 + tfrac14 + tfrac16 + cdots + tfrac12n ;=; 12l(1 + tfrac12 + tfrac13 + cdots + tfrac1nr) ;=; Hn2
Logo a soma dos termos ímpares é
1 + tfrac13 + tfrac15 + cdots + tfrac12n-1 ;=; H2n - Hn2

Passo 3

O lado esquerdo do enunciado é “soma dos ímpares” menos “soma dos pares”:
l(H2n - tfracHn2r) ;-; Hn2 ;=; H2n - Hn
E, por definição de harmônicos,
H2n - Hn ;=; sumk=1^2n1k ;-; sumk=1^n1k ;=; sumk=n+1^2n1k ;=; 1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n

Resposta

1 - 12 + 13 - 14 + cdots + 12n-1 - 12n ;=; 1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n
Demonstrado!

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