Sabe-se que a+1a é um inteiro. Prove que todos os números da forma
an+1an, n=2,3, ldots
também são inteiros.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um número real (ou complexo) a + 1a tal que
an + 1an
é um inteiro. A missão é provar que, para todo an = a^n , o número
também é inteiro, onde a gente vai entender que
O assunto principal aqui é trabalhar com potências de e usar indução (ou uma relação de recorrência) para mostrar que todas essas combinações são inteiras. A gente vai precisar de:
  1. Definir .
  2. Mostrar que e são inteiros.
  3. Encontrar uma fórmula que relacione , e .
  4. Usar indução para concluir que todo é inteiro.

Passo 2

Primeiro a gente define
xn = a^n + 1a^n
Pelo enunciado, x2 = a^2 + 1a^2 = l(a + 1ar)^2 - 2, já é inteiro. Agora vamos calcular explicando certinho:
porque . Como é inteiro, seu quadrado também é inteiro, e daí subtrair 2 mantém inteiro. Logo, é inteiro.

Passo 3

O próximo lance é achar uma relação que ligue l(a + a^-1r)l(a^n + a^-nr) = a^n+1 + a^n-1 + a^-n+1 + a^-n-1 , a^n+1 + a^-(n+1) ;+;l(a^n-1+a^-(n-1)r) = xn+1 + xn-1 e xn+1 = l(a + a^-1r),xn ;-; xn-1 . A ideia é multiplicar por :
Reagrupando, isso é
Portanto
Essa é a relação de recorrência clássica (também aparece em polinômios de Chebyshev).

Passo 4

Agora é só indução em xk+1 = l(a + a^-1r)xk - xk-1, :
  • Base : é inteiro por hipótese.
  • Já vimos no passo 2 que é inteiro.
  • Suponha que e sejam inteiros para algum .
    Da recorrência vemos que é inteiro e, por hipótese de indução, e são inteiros. Produto e soma de inteiros dão inteiro, então também é inteiro.
  • Assim, por indução, todo é inteiro para todo .

Resposta

Logo, para todo an + 1an = a^n + 1a^n ,
é um número inteiro.

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