Sabe-se que
é um inteiro. Prove que todos os números da forma
também são inteiros.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um número real (ou complexo)
tal que
é um inteiro. A missão é provar que, para todo
, o número
também é inteiro, onde a gente vai entender que
O assunto principal aqui é trabalhar com potências de
e usar indução (ou uma relação de recorrência) para mostrar que todas essas combinações são inteiras. A gente vai precisar de:
- Definir
. - Mostrar que
e são inteiros. - Encontrar uma fórmula que relacione
, e . - Usar indução para concluir que todo
é inteiro.
Passo 2
Primeiro a gente define
Pelo enunciado,
já é inteiro. Agora vamos calcular
explicando certinho:
porque
. Como
é inteiro, seu quadrado também é inteiro, e daí subtrair 2 mantém inteiro. Logo,
é inteiro.
Passo 3
O próximo lance é achar uma relação que ligue
,
e
. A ideia é multiplicar
por
:
Reagrupando, isso é
Portanto
Essa é a relação de recorrência clássica (também aparece em polinômios de Chebyshev).
Passo 4
Agora é só indução em
:
- Base
: é inteiro por hipótese. - Já vimos no passo 2 que
é inteiro. - Suponha que
e sejam inteiros para algum .
Da recorrênciavemos que é inteiro e, por hipótese de indução, e são inteiros. Produto e soma de inteiros dão inteiro, então também é inteiro. - Assim, por indução, todo
é inteiro para todo .
Resposta
Logo, para todo
,
é um número inteiro.