Mostre que: (2pts)
\frac{d}{d z}[\cos (z)]=-\operatorname{sen}(z)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar (ou provar) que
\frac{d}{d z}\big[\cos(z)\big]=-\operatorname{sen}(z).
Informações dadas: a função cujo derivada devemos calcular é \cos(z). Não há outras informações explícitas no enunciado.

Passo 2

Definição usada: a derivada de uma função f em um ponto z é o limite do quociente incremental, isto é
\frac{d}{d z}f(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}.
Aqui vamos aplicar essa definição com f(z)=\cos(z). Essa é a maneira padrão de provar derivadas “do zero” sem assumir regras prontas.

Passo 3

Escrevemos o quociente incremental para f(z)=\cos(z):
\frac{\cos(z+h)-\cos(z)}{h}.
Para manipular o numerador vamos usar a identidade trigonométrica da soma de ângulos:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b.
Aplicando com a=z e b=h obtemos
\cos(z+h)=\cos z\cos h-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}h.

Passo 4

Substituindo na expressão do quociente:
\frac{\cos(z+h)-\cos(z)}{h} =\frac{\cos z\cos h-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}h-\cos z}{h}.
Agrupando termos com \cos z:
\frac{\cos z(\cos h-1)-\operatorname{sen}z\operatorname{sen}h}{h} =\cos z\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\operatorname{sen}z\cdot\frac{\operatorname{sen}h}{h}.
Portanto, pela linearidade do limite (quando os limites existem),
\frac{d}{d z}\big[\cos(z)\big]=\lim_{h\to 0}\left(\cos z\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\operatorname{sen}z\cdot\frac{\operatorname{sen}h}{h}\right) =\cos z\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}-\operatorname{sen}z\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}.
Agora precisamos calcular os dois limites fundamentais
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}\quad\text{e}\quad \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}.

Passo 5

Prova do limite \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1.
Raciocínio geométrico clássico (caso h>0, depois estende-se para h<0 pela paridade/ímpare das funções):
Para 0<h<\tfrac{\pi}{2} há a desigualdade conhecida
\cos h < \frac{\operatorname{sen}h}{h} < 1.
Essa desigualdade vem da comparação de áreas no círculo unitário (triângulo inscrito, setor circular e triângulo circunscrito). Como \displaystyle\lim_{h\to 0^+}\cos h=1, pelo princípio do “apertar” (squeeze theorem) obtemos
\lim_{h\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1.
Para h<0 usamos que \operatorname{sen} é função ímpar, ou seja \operatorname{sen}(-h)=-\operatorname{sen}h, e isso mostra que o limite ao passar por valores negativos é o mesmo. Logo
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1.

Passo 6

Prova do limite \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Usamos a identidade trigonométrica de meia-ângulo
\cos h-1=-2\operatorname{sen}^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Então
\frac{\cos h-1}{h}=-2\cdot\frac{\operatorname{sen}^2\!\left(\frac{h}{2}\right)}{h}.
Escrevendo \operatorname{sen}^2\!\left(\frac{h}{2}\right)=\left(\frac{\operatorname{sen}(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\right)^2\!\left(\frac{h}{2}\right)^2, obtemos
\frac{\cos h-1}{h}=-2\left(\frac{\operatorname{sen}(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\right)^2\!\cdot\frac{(h/2)^2}{h} = -\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{\operatorname{sen}(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\right)^2.
À medida que h\to 0 temos \displaystyle\frac{\operatorname{sen}(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\to 1 (pelo Passo 5), portanto o produto acima tende a 0 porque há um fator \frac{h}{2} multiplicando algo que tende a 1. Logo
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 7

Voltando à expressão da derivada, substituímos os limites calculados:
\frac{d}{d z}\big[\cos(z)\big]=\cos z\cdot 0 - \operatorname{sen}z\cdot 1 = -\operatorname{sen}z.
Portanto chegamos à conclusão desejada.

Resposta

\frac{d}{d z}\big[\cos(z)\big]=-\operatorname{sen}(z)

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