Mostre que: (2pts)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar (ou provar) que
Informações dadas: a função cujo derivada devemos calcular é
. Não há outras informações explícitas no enunciado.
Passo 2
Definição usada: a derivada de uma função
em um ponto
é o limite do quociente incremental, isto é
Aqui vamos aplicar essa definição com
. Essa é a maneira padrão de provar derivadas “do zero” sem assumir regras prontas.
Passo 3
Escrevemos o quociente incremental para
:
Para manipular o numerador vamos usar a identidade trigonométrica da soma de ângulos:
Aplicando com
e
obtemos
Passo 4
Substituindo na expressão do quociente:
Agrupando termos com
:
Portanto, pela linearidade do limite (quando os limites existem),
Agora precisamos calcular os dois limites fundamentais
Passo 5
Prova do limite
.
Raciocínio geométrico clássico (caso
, depois estende-se para
pela paridade/ímpare das funções):
Para há a desigualdade conhecida
Para
Essa desigualdade vem da comparação de áreas no círculo unitário (triângulo inscrito, setor circular e triângulo circunscrito). Como
, pelo princípio do “apertar” (squeeze theorem) obtemos
Para
usamos que
é função ímpar, ou seja
, e isso mostra que o limite ao passar por valores negativos é o mesmo. Logo
Passo 6
Prova do limite
.
Usamos a identidade trigonométrica de meia-ângulo
Então
Escrevendo
, obtemos
À medida que
temos
(pelo Passo 5), portanto o produto acima tende a
porque há um fator
multiplicando algo que tende a
. Logo
Passo 7
Voltando à expressão da derivada, substituímos os limites calculados:
Portanto chegamos à conclusão desejada.