Sejam z, c \in \mathbb{C}, \operatorname{com} z \neq 0 vamos definimos z^{c}=e^{c cdot \log (z)}. Mostre que: (2 pts)
(1+i)^{i}=e^{\left(-\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right)} \cdot e^{i\left(\frac{\ln (2)}{2}\right)}, onde k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá a definição z^{c}=e^{c\cdot \log(z)} para z,c\in\mathbb{C} com z\neq0, e pede para mostrar uma expressão para (1+i)^{i}. As informações relevantes são:
  • Queremos calcular (1+i)^{i}.
  • A definição a usar é \displaystyle z^{c}=e^{c\cdot \log(z)}.
  • A função logaritmo complexo é multivaluada pelo argumento: \log z=\ln|z|+i(\Arg z+2k\pi), com k\in\mathbb{Z}.
    Não vamos resolver ainda; só identificamos o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Calcular o módulo de 1+i. Para um número complexo x+iy temos |x+iy|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aplicando a 1+i obtemos
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Daí o logaritmo natural do módulo é
\ln|1+i|=\ln\bigl(\sqrt{2}\bigr)=\frac{1}{2}\ln 2.
Expliquei: usamos a definição de módulo e a propriedade \ln(\sqrt{a})=\tfrac{1}{2}\ln a.

Passo 3

Determinar o argumento de 1+i. O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{\Im(1+i)}{\Re(1+i)}=\dfrac{1}{1}=1. O ângulo no primeiro quadrante com tangente 1 é \theta=\dfrac{\pi}{4}. Como o logaritmo complexo é multivalorado, o argumento geral é
\Arg(1+i)=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Expliquei: acrescentamos 2k\pi porque girar o vetor por 2\pi não altera o número complexo, e isso cria as diferentes folhas do log.

Passo 4

Escrever a forma geral do logaritmo de 1+i usando os resultados dos passos anteriores. Pela fórmula multivaluada
\log(1+i)=\ln|1+i|+i\Arg(1+i)=\frac{1}{2}\ln 2 + i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right).

Passo 5

Aplicar a definição z^{c}=e^{c\cdot \log(z)} com z=1+i e c=i. Temos
(1+i)^{i}=e^{\,i\cdot \log(1+i)}.
Substituindo \log(1+i) do passo anterior:
i\cdot \log(1+i)=i\left(\frac{1}{2}\ln 2 + i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\right).
Agora desenvolver o produto, lembrando que i^{2}=-1:
i\cdot \log(1+i)=i\cdot\frac{1}{2}\ln 2 + i^{2}\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right) = i\frac{1}{2}\ln 2 -\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right).

Passo 6

Escrever a exponencial e separar parte real e imaginária. Como e^{a+ib}=e^{a}\,e^{ib}, obtemos
(1+i)^{i}=e^{-\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}\cdot e^{\,i\left(\frac{1}{2}\ln 2\right)}.
Também podemos reescrever \tfrac{1}{2}\ln 2 como \frac{\ln(2)}{2}. Expliquei: a parte real do expoente é -\bigl(\frac{\pi}{4}+2k\pi\bigr) e a imaginária é \frac{1}{2}\ln 2.

Passo 7

Mostrar que a expressão encontrada é equivalente à do enunciado. A forma encontrada é
(1+i)^{i}=e^{-\frac{\pi}{4}-2k\pi}\cdot e^{\,i\frac{\ln 2}{2}}.
Se definirmos m=-k (aqui m\in\mathbb{Z} também), obtemos a mesma família de valores escrita como
(1+i)^{i}=e^{-\frac{\pi}{4}+2m\pi}\cdot e^{\,i\frac{\ln 2}{2}},
o que coincide com a forma dada no enunciado, apenas com outro índice inteiro. Portanto provamos a identidade pedida.

Resposta

(1+i)^{i}=e^{\left(-\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right)} \cdot e^{i\left(\frac{\ln (2)}{2}\right)}, onde k \in \mathbb{Z}.

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