Sejam
vamos definimos
. Mostre que: (2 pts)
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a definição
para
com
, e pede para mostrar uma expressão para
. As informações relevantes são:
- Queremos calcular
. - A definição a usar é
. - A função logaritmo complexo é multivaluada pelo argumento:
, com
.
Não vamos resolver ainda; só identificamos o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Calcular o módulo de
. Para um número complexo
temos
. Aplicando a
obtemos
Daí o logaritmo natural do módulo é
Expliquei: usamos a definição de módulo e a propriedade
.
Passo 3
Determinar o argumento de
. O argumento
satisfaz
. O ângulo no primeiro quadrante com tangente
é
. Como o logaritmo complexo é multivalorado, o argumento geral é
Expliquei: acrescentamos
porque girar o vetor por
não altera o número complexo, e isso cria as diferentes folhas do log.
Passo 4
Escrever a forma geral do logaritmo de
usando os resultados dos passos anteriores. Pela fórmula multivaluada
Passo 5
Aplicar a definição
com
e
. Temos
Substituindo
do passo anterior:
Agora desenvolver o produto, lembrando que
:
Passo 6
Escrever a exponencial e separar parte real e imaginária. Como
, obtemos
Também podemos reescrever
como
. Expliquei: a parte real do expoente é
e a imaginária é
.
Passo 7
Mostrar que a expressão encontrada é equivalente à do enunciado. A forma encontrada é
Se definirmos
(aqui
também), obtemos a mesma família de valores escrita como
o que coincide com a forma dada no enunciado, apenas com outro índice inteiro. Portanto provamos a identidade pedida.