Resolva as equações: (3pts)
, onde
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação
.
Informações dadas e observações imediatas:
é um número complexo com módulo
e argumento principal
(note que
). Não há outras restrições explícitas sobre
.
Informações dadas e observações imediatas:
Passo 2
Vamos representar o número complexo desconhecido
na forma cartesiana padrão, isto é
onde
e
são números reais. Aqui
é a parte real de
e
é a parte imaginária de
. Essa é uma forma muito útil porque a exponencial complexa tem uma fórmula simples para números nessa forma.
Passo 3
Lembrete (fórmula essencial): para um número complexo
,
Explico rapidinho:
é o exponencial real (positivo) que escala a magnitude, e
vem da fórmula de Euler, que transforma a parte imaginária em uma rotação no plano complexo.
Passo 4
Agora aplique isso à igualdade
. Escrevendo os dois lados em módulo e argumento:
- O módulo do lado esquerdo é
(porque ). - O módulo do lado direito é
.
Como módulos devem ser iguais, temos
Da propriedade do exponencial real,
ocorre exatamente quando
. Assim concluímos que a parte real de
é zero:
Passo 5
Agora olhamos para a parte angular (argumento). Com
a igualdade fica
Usando a forma trigonométrica,
. Queremos que isso seja igual a
. Isso significa que as componentes reais e imaginárias devem coincidir:
Os valores
que satisfazem isso são aqueles para os quais o ângulo é
mais múltiplos inteiros de
. Em linguagem de congruência angular:
ou seja
Isso vem do fato de que a função trigonométrica é periódica com período
.
Passo 6
Juntando as informações das partes real e imaginária, temos
Portanto esses são todos os números complexos cuja exponencial é
. Você pode checar rapidamente: para
obtém-se
e usamos a identidade de Euler
(a famosa fórmula).
Passo 7
Comentário sobre a condição
: se a intenção da condição
era indicar que usamos o argumento principal para o logaritmo, então o logaritmo principal de
é
(já que o argumento principal de
é
em
). Isso corresponde ao caso
da família geral acima. Mas, em geral, a solução completa inclui todos os
por causa da periodicidade
da exponencial complexa.