Resolva as equações: (3pts)
e^{Z}=-1, onde \arg (\boldsymbol{z}) \in[0,2 \pi)

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação \displaystyle e^{Z} = -1.
Informações dadas e observações imediatas:
\displaystyle -1 é um número complexo com módulo \displaystyle 1 e argumento principal \displaystyle \pi (note que \displaystyle \pi \in [0,2\pi)). Não há outras restrições explícitas sobre Z.

Passo 2

Vamos representar o número complexo desconhecido Z na forma cartesiana padrão, isto é
Z = x + i y,
onde \displaystyle x e \displaystyle y são números reais. Aqui \displaystyle x é a parte real de Z e \displaystyle y é a parte imaginária de Z. Essa é uma forma muito útil porque a exponencial complexa tem uma fórmula simples para números nessa forma.

Passo 3

Lembrete (fórmula essencial): para um número complexo \displaystyle Z = x + i y,
e^{Z} = e^{x+iy} = e^{x}\,e^{iy} = e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Explico rapidinho: \displaystyle e^{x} é o exponencial real (positivo) que escala a magnitude, e \displaystyle e^{iy}=\cos y + i\sin y vem da fórmula de Euler, que transforma a parte imaginária em uma rotação no plano complexo.

Passo 4

Agora aplique isso à igualdade \displaystyle e^{Z} = -1. Escrevendo os dois lados em módulo e argumento:
  • O módulo do lado esquerdo é \displaystyle |e^{Z}| = e^{x} (porque |\cos y + i\sin y| = 1).
  • O módulo do lado direito é \displaystyle |-1| = 1.
Como módulos devem ser iguais, temos
e^{x} = 1.
Da propriedade do exponencial real, \displaystyle e^{x}=1 ocorre exatamente quando \displaystyle x = 0. Assim concluímos que a parte real de Z é zero:
x = 0.

Passo 5

Agora olhamos para a parte angular (argumento). Com \displaystyle x=0 a igualdade fica
e^{iy} = -1.
Usando a forma trigonométrica, \displaystyle e^{iy}=\cos y + i\sin y. Queremos que isso seja igual a -1 + 0\cdot i. Isso significa que as componentes reais e imaginárias devem coincidir:
\cos y = -1,\qquad \sin y = 0.
Os valores \displaystyle y que satisfazem isso são aqueles para os quais o ângulo é \displaystyle \pi mais múltiplos inteiros de \displaystyle 2\pi. Em linguagem de congruência angular:
y \equiv \pi \pmod{2\pi},
ou seja
y = \pi + 2k\pi = (2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isso vem do fato de que a função trigonométrica é periódica com período \displaystyle 2\pi.

Passo 6

Juntando as informações das partes real e imaginária, temos
Z = x + i y = 0 + i(2k+1)\pi = i(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto esses são todos os números complexos cuja exponencial é -1. Você pode checar rapidamente: para k=0 obtém-se Z=i\pi e usamos a identidade de Euler e^{i\pi}=-1 (a famosa fórmula).

Passo 7

Comentário sobre a condição \arg(\cdot): se a intenção da condição \arg(\boldsymbol{z})\in[0,2\pi) era indicar que usamos o argumento principal para o logaritmo, então o logaritmo principal de -1 é i\pi (já que o argumento principal de -1 é \pi em [0,2\pi)). Isso corresponde ao caso k=0 da família geral acima. Mas, em geral, a solução completa inclui todos os k\in\mathbb{Z} por causa da periodicidade 2\pi i da exponencial complexa.

Resposta

\displaystyle Z = i(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
\displaystyle (Valor principal, tomando o argumento em [0,2\pi): \displaystyle Z = i\pi.)

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