Mostre que (4,41)_{b} é um quadrado perfeito para qualquer base b \geq 5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer base b\ge5, o numeral (4,41)_b é um quadrado perfeito. O conteúdo envolvido é representação posicional de números e fatoração de polinômio em b.

Passo 2

No sistema posicional em base b, o dígito de ordem 2 vale 4, o de ordem 1 vale 4 e o de ordem 0 vale 1. Assim,
(4,41)_b \;=\;4b^2 + 4b + 1.

Passo 3

Basta observar que o polinômio acima é um quadrado perfeito em b:
4b^2 + 4b + 1 \;=\;(2b + 1)^2.
Logo (4,41)_b é exatamente o quadrado de 2b+1.

Passo 4

Para que os dígitos 4,4,1 sejam válidos em base b, precisamos de b-1\ge4, isto é, b\ge5. Isso coincide com a hipótese do problema.

Resposta

Para toda base b\ge5,
(4,41)_b = (2b+1)^2,
portanto é um quadrado perfeito.

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