Mostre que
é um quadrado perfeito para qualquer base
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer base
, o numeral
é um quadrado perfeito. O conteúdo envolvido é representação posicional de números e fatoração de polinômio em
.
Passo 2
No sistema posicional em base
, o dígito de ordem 2 vale
, o de ordem 1 vale
e o de ordem 0 vale
. Assim,
Passo 3
Basta observar que o polinômio acima é um quadrado perfeito em
:
Logo
é exatamente o quadrado de
.
Passo 4
Para que os dígitos
sejam válidos em base
, precisamos de
, isto é,
. Isso coincide com a hipótese do problema.
Resposta
Para toda base
,
portanto é um quadrado perfeito.