Exercício 10. Considere a fórmula para determinar a raiz quadrada de a:
x_{k+1}=\frac{1}{2}\left[x_{k}+\frac{a}{x_{k}}\right] \quad k=0,1, \cdots
(a) Calcule três iterações usando o método da bisseção para aproximar \sqrt{2} com intervalo inicial igual a [1,2].
(b) Calcule três iterações usando a formula acima para aproximar \sqrt{2} com ponto inicial x_{0}=1.
(c) Mostre que a fórmula acima é um caso especial de iteração de Newton.
(d) Usando o método da bisseção calcule quantas iterações são necessárias para calcular \sqrt{2} com erro menor que 10^{-6}.
(e) Usando o método de Newton calcule quantas iterações são necessárias para calcular \sqrt{2} com erro menor que 10^{-6}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt{2} por dois métodos de raízes (bisseção e Newton), mostrar que a iteração de Newton coincide com
x_{k+1} = \frac12\Bigl(x_k + \frac{a}{x_k}\Bigr)
e estimar quantas iterações cada método precisa para erro menor que 10^{-6}. Vamos usar f(x)=x^2-2 no método da bisseção e em Newton.

Passo 2

(a) Método da bisseção em [1,2]. A cada iteração tomamos o ponto médio m e escolhemos o subintervalo onde f muda de sinal:
f(1)=1^2-2=-1<0,\quad f(2)=2^2-2=2>0.
1ª iteração:
m_1 = \frac{1+2}{2}=1,5,\quad f(1,5)=1,5^2-2=0{,}25>0
logo o novo intervalo é [1,1{,}5].
2ª iteração:
m_2 = \frac{1+1,5}{2}=1{,}25,\quad f(1,25)=1,5625-2=-0{,}4375<0
novo intervalo [1{,}25,1{,}5].
3ª iteração:
m_3 = \frac{1,25+1,5}{2}=1{,}375,\quad f(1,375)=1,8906-2=-0{,}1094<0
novo intervalo [1{,}375,1{,}5].
As três aproximações são 1{,}5, 1{,}25 e 1{,}375.

Passo 3

(b) Iteração de Newton para a=2 com x_0=1. A fórmula dada é
x_{k+1} = \frac12\Bigl(x_k + \frac{2}{x_k}\Bigr).
Calculemos:
x_1 = \frac12\Bigl(1 + \frac{2}{1}\Bigr)=1{,}5, \quad x_2 = \frac12\Bigl(1{,}5 + \frac{2}{1{,}5}\Bigr)=1{,}4166667,
x_3 = \frac12\Bigl(1{,}4166667 + \frac{2}{1{,}4166667}\Bigr)\approx1{,}4142159.

Passo 4

(c) Método de Newton geral para f(x)=x^2-a:
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} =x_k-\frac{x_k^2-a}{2x_k} =\frac{2x_k^2-(x_k^2-a)}{2x_k} =\frac{x_k^2+a}{2x_k} =\frac12\Bigl(x_k+\frac{a}{x_k}\Bigr).
Logo a fórmula é o caso especial de Newton.

Passo 5

(d) No método da bisseção o erro após n iterações satisfaz
|x_n-\sqrt{2}|\le \frac{2-1}{2^n}=\frac1{2^n}.
Queremos \tfrac1{2^n}<10^{-6}\iff 2^n>10^6\iff n>\log_2(10^6)\approx19{,}93. Portanto são necessárias n=20 iterações.

Passo 6

(e) O método de Newton converge quadraticamente. Atingimos:
|x_1-\sqrt{2}|\approx0{,}0858,\; |x_2-\sqrt{2}|\approx2{,}45\times10^{-3},\; |x_3-\sqrt{2}|\approx2{,}55\times10^{-6},\; |x_4-\sqrt{2}|\approx1{,}4\times10^{-12}.
Para erro menor que 10^{-6} precisamos de 4 iterações (até x_4).

Resposta

(a) 1{,}5, 1{,}25, 1{,}375
(b) x_1=1{,}5, x_2\approx1{,}4166667, x_3\approx1{,}4142159
(c) A iteração de Newton em f(x)=x^2-a dá exatamente
\displaystyle x_{k+1}=\tfrac12\bigl(x_k+\tfrac a{x_k}\bigr).
(d) 20 iterações.
(e) 4 iterações.

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