Exercício 10. Considere a fórmula para determinar a raiz quadrada de a:
(a) Calcule três iterações usando o método da bisseção para aproximar
com intervalo inicial igual a
.
(b) Calcule três iterações usando a formula acima para aproximar
com ponto inicial
.
(c) Mostre que a fórmula acima é um caso especial de iteração de Newton.
(d) Usando o método da bisseção calcule quantas iterações são necessárias para calcular
com erro menor que
.
(e) Usando o método de Newton calcule quantas iterações são necessárias para calcular
com erro menor que
.
(b) Calcule três iterações usando a formula acima para aproximar
(c) Mostre que a fórmula acima é um caso especial de iteração de Newton.
(d) Usando o método da bisseção calcule quantas iterações são necessárias para calcular
(e) Usando o método de Newton calcule quantas iterações são necessárias para calcular
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
por dois métodos de raízes (bisseção e Newton), mostrar que a iteração de Newton coincide com
e estimar quantas iterações cada método precisa para erro menor que
. Vamos usar
no método da bisseção e em Newton.
Passo 2
(a) Método da bisseção em
. A cada iteração tomamos o ponto médio
e escolhemos o subintervalo onde
muda de sinal:
1ª iteração:
logo o novo intervalo é
.
2ª iteração:
2ª iteração:
novo intervalo
.
3ª iteração:
3ª iteração:
novo intervalo
.
As três aproximações são ,
e
.
As três aproximações são
Passo 3
(b) Iteração de Newton para
com
. A fórmula dada é
Calculemos:
Passo 4
(c) Método de Newton geral para
:
Logo a fórmula é o caso especial de Newton.
Passo 5
(d) No método da bisseção o erro após
iterações satisfaz
Queremos
. Portanto são necessárias
iterações.
Passo 6
(e) O método de Newton converge quadraticamente. Atingimos:
Para erro menor que
precisamos de
iterações (até
).
Resposta
(a)
,
,
(b) ,
,
(c) A iteração de Newton em dá exatamente
.
(d) iterações.
(e) iterações.
(b)
(c) A iteração de Newton em
(d)
(e)