A matriz A tem ordem 3 e é tal que \operatorname{det}(A)=4. Dada a matriz
B=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 6 \end{array}\right]
calcule \operatorname{det}\left(C^{-1}\right), onde C=A B^{-1}.

Passo 1

  • O enunciado me dá que a matriz A tem ordem 3 e que \operatorname{det}(A)=4.
  • O enunciado fornece a matriz
B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}
(peguei esses valores diretamente do enunciado).
  • Define-se C = A B^{-1}.
  • A pergunta é: calcular \operatorname{det}\left(C^{-1}\right).

Passo 2

Vou usar propriedades básicas de determinantes; explico cada uma de forma didática:
  • Propriedade 1 (multiplicatividade): para matrizes quadradas com produto definido vale
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}(X)\,\operatorname{det}(Y).
Isto significa que o determinante do produto é o produto dos determinantes. É uma propriedade padrão de determinantes e facilita muito contas com produtos de matrizes.
  • Propriedade 2 (inversa): se X é invertível então
\operatorname{det}\bigl(X^{-1}\bigr)=\frac{1}{\operatorname{det}(X)}.
Isto decorre diretamente da propriedade multiplicativa, pois X X^{-1}=I e \operatorname{det}(I)=1, logo \operatorname{det}(X)\operatorname{det}(X^{-1})=1.
Essas duas propriedades serão suficientes para transformar \operatorname{det}\left(C^{-1}\right) em algo que eu consigo calcular com os dados.

Passo 3

Aplico as propriedades a C=A B^{-1}.
Primeiro, usando a propriedade da inversa,
\operatorname{det}\bigl(C^{-1}\bigr)=\frac{1}{\operatorname{det}\text{(C)}}.
Agora uso multiplicatividade para \operatorname{det}\text{(C)}:
\operatorname{det}\text{(C)}=\operatorname{det}\bigl(A B^{-1}\bigr)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\bigl(B^{-1}\bigr).
E aplicando a propriedade da inversa a B,
\operatorname{det}\bigl(B^{-1}\bigr)=\frac{1}{\operatorname{det}(B)}.
Substituindo isso em \operatorname{det}\text{(C)} e invertendo para \operatorname{det}(C^{-1}), obtenho
\operatorname{det}\bigl(C^{-1}\bigr)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)\,\dfrac{1}{\operatorname{det}(B)}}=\frac{\operatorname{det}(B)}{\operatorname{det}(A)}.
Portanto, para terminar preciso apenas calcular \operatorname{det}(B) e dividir por \operatorname{det}(A)=4.

Passo 4

Calculo \operatorname{det}(B). Vou usar a expansão pela primeira linha (regra dos cofatores) — explico: para matriz 3\times3 com primeira linha (b_{11},b_{12},b_{13}),
\operatorname{det}(B)=b_{11}M_{11}-b_{12}M_{12}+b_{13}M_{13},
onde cada M_{1j} é o determinante do menor 2\times2 que se obtém eliminando a linha 1 e a coluna j.
Para a nossa B temos b_{11}=3, b_{12}=1, b_{13}=4. Calculo os menores:
  • Menor associado a b_{11}=3 (removendo linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 6\end{vmatrix}=1\cdot 6 - 2\cdot 1 = 6-2=4.
  • Menor associado a b_{12}=1 (removendo linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\begin{vmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & 6\end{vmatrix}=(-1)\cdot 6 - 2\cdot 0 = -6.
  • Menor associado a b_{13}=4 (removendo linha 1 e coluna 3):
M_{13}=\begin{vmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{vmatrix}=(-1)\cdot 1 - 1\cdot 0 = -1.
Agora aplico a fórmula da expansão:
\operatorname{det}(B)=3\cdot M_{11} - 1\cdot M_{12} + 4\cdot M_{13} =3\cdot 4 - 1\cdot(-6) + 4\cdot(-1).
Faço as contas passo a passo:
3\cdot 4 = 12,\qquad -1\cdot(-6)=+6,\qquad 4\cdot(-1)=-4.
Somando:
\operatorname{det}(B)=12+6-4=14.]

Passo 5

Agora volto à expressão obtida no Passo 3:
\operatorname{det}\bigl(C^{-1}\bigr)=\frac{\operatorname{det}(B)}{\operatorname{det}(A)}.
Substituo \operatorname{det}(B)=14 (Passo 4) e \operatorname{det}(A)=4 (dado):
\operatorname{det}\bigl(C^{-1}\bigr)=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}.
Vou encerrar lembrando: a ideia principal foi usar as propriedades multiplicativa dos determinantes e da inversa, e calcular o determinante de B por expansão: passos fáceis de repetir na prova.

Resposta

\dfrac{7}{2}

Exercícios relacionados