Q1. Se a matriz
tem ordem 3 e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única quantidade.
- Dado: a matriz
tem ordem (ou seja, é ). - Dado:
. - Pedido: calcular o valor de
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica de determinantes: a relação entre o determinante de uma matriz invertível e o determinante de sua inversa. A propriedade é
onde
é a matriz identidade da mesma ordem que
. Isso ocorre porque
e o determinante transforma produto em produto:
. Da relação acima segue
Aqui
é o número dado (no nosso caso
), e
é o que vamos calcular a partir dele.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior com
, obtemos
Ou seja, já temos a primeira parte necessária para a expressão pedida.
Passo 4
Outra propriedade fundamental: se
é uma matriz
e
é um escalar, então
Intuição rápida e didática: multiplicar uma matriz por
equivale a multiplicar cada uma das
linhas (ou colunas) por
; multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
, portanto multiplicando todas as
linhas o fator é
. Exemplo simples para fixar: para
,
Passo 5
No nosso caso
e
. Aplicando a propriedade do passo anterior:
Como
, temos
Passo 6
Agora juntamos as duas partes já calculadas na expressão pedida:
Calcule passo a passo:
. Então