Q1. Se a matriz M tem ordem 3 e \operatorname{det}(M)=-2, calcule 4 \operatorname{det}\left(M^{-1}\right)+\operatorname{det}(2 M).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única quantidade.
  • Dado: a matriz M tem ordem 3 (ou seja, é 3\times3).
  • Dado: \det(M) = -2.
  • Pedido: calcular o valor de 4\det\bigl(M^{-1}\bigr) + \det(2M).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica de determinantes: a relação entre o determinante de uma matriz invertível e o determinante de sua inversa. A propriedade é
\det(M)\cdot\det\bigl(M^{-1}\bigr)=\det(I)=1,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem que M. Isso ocorre porque M M^{-1}=I e o determinante transforma produto em produto: \det(AB)=\det(A)\det(B). Da relação acima segue
\det\bigl(M^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(M)}.
Aqui \det(M) é o número dado (no nosso caso -2), e \det(M^{-1}) é o que vamos calcular a partir dele.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior com \det(M)=-2, obtemos
\det\bigl(M^{-1}\bigr)=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.
Ou seja, já temos a primeira parte necessária para a expressão pedida.

Passo 4

Outra propriedade fundamental: se M é uma matriz n\times n e k é um escalar, então
\det(kM)=k^{n}\det(M).
Intuição rápida e didática: multiplicar uma matriz por k equivale a multiplicar cada uma das n linhas (ou colunas) por k; multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k, portanto multiplicando todas as n linhas o fator é k^n. Exemplo simples para fixar: para 2\times2,
\det\begin{pmatrix}ka & kb\\\ kc & kd\end{pmatrix}=k^2(ad-bc).

Passo 5

No nosso caso n=3 e k=2. Aplicando a propriedade do passo anterior:
\det(2M)=2^{3}\det(M)=8\cdot\det(M).
Como \det(M)=-2, temos
\det(2M)=8\cdot(-2)=-16.

Passo 6

Agora juntamos as duas partes já calculadas na expressão pedida:
4\det\bigl(M^{-1}\bigr)+\det(2M)=4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)+(-16).
Calcule passo a passo: 4\cdot(-\tfrac{1}{2})=-2. Então
-2+(-16)=-18.

Resposta

-18

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