Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que 10^{-2}.
f(x)=\cos x-x, [0,1]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a função f(x)=\cos x - x tem ao menos um zero no intervalo [0,1]; (2) aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação desse zero com erro absoluto menor que 10^{-2}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos x - x.
  • O intervalo considerado é [0,1].
  • A tolerância de erro absoluta desejada é 10^{-2}.

Passo 2

Mostrar existência de raiz (teorema do valor intermediário / Bolzano).
Explicação rápida do teorema usado: se uma função g é contínua em um intervalo [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. Aqui precisamos apenas verificar que f é contínua em [0,1] e que f(0) e f(1) têm sinais opostos.
  • A função x\mapsto \cos x é contínua em \mathbb{R} e x\mapsto x é contínua, logo f(x)=\cos x - x é contínua em [0,1].
  • Calcular f nas extremidades: f(0)=\cos 0 - 0 = 1,
f(1)=\cos 1 - 1 \approx 0,5403023059 - 1 = -0,4596976941.
  • Como f(0)>0 e f(1)<0, por Bolzano existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.
Comentário: portanto há pelo menos uma raiz em [0,1]. Agora vamos encontrá‑la aproximadamente pelo método da bissecção.

Passo 3

Descrição do método da bissecção e cálculo do número de iterações necessárias.
Como funciona (intuição e fórmula):
  • Começa-se com um intervalo [a_0,b_0] tal que f(a_0) e f(b_0) têm sinais opostos.
  • Em cada iteração k calcula‑se o ponto médio m_k=(a_{k-1}+b_{k-1})/2. Se f(m_k)=0 acabamos; se f(m_k) tem sinal oposto a f(a_{k-1}) então colocamos b_k=m_k (a raiz está em [a_{k-1},m_k]), senão colocamos a_k=m_k (a raiz está em [m_k,b_{k-1}]).
  • Após N iterações o comprimento do intervalo é b_N-a_N=(b_0-a_0)/2^N. Tomando a aproximação como o ponto médio do intervalo final, o erro máximo garantido é \frac{b_N-a_N}{2}=\frac{b_0-a_0}{2^{N+1}}.
Queremos esse erro menor que 10^{-2}. No nosso caso b_0-a_0=1, então exigimos
\frac{1}{2^{N+1}}<10^{-2}.
Tomando logaritmo em base 2,
N+1>\log_2(100)\approx 6{,}6438,
logo N\ge 6 é suficiente (com N=6 obtemos erro máximo \le 1/128\approx 0{,}0078125<0{,}01).
Portanto iremos realizar 6 iterações de bissecção e, ao final, tomar o ponto médio do intervalo resultante como aproximação com erro garantido menor que 10^{-2}.

Passo 4

Preparação inicial e primeira iteração.
  • Intervalo inicial: a_0=0,\\ b_0=1.
  • Já calculamos f(a_0)=f(0)=1>0 e f(b_0)=f(1)\approx -0{,}4596976941<0.
Iteração 1:
  • m_1=\dfrac{a_0+b_0}{2}=\dfrac{0+1}{2}=0{,}5.
  • Calcular f(m_1)=\cos(0{,}5)-0{,}5. f(0{,}5)=\cos(0{,}5)-0{,}5\approx 0{,}8775825625-0{,}5=0{,}3775825625>0.
  • Como f(m_1) e f(b_0) têm sinais opostos, a raiz está em [m_1,b_0]=[0{,}5,1].
  • Novo intervalo: a_1=0{,}5,\\ b_1=1.

Passo 5

Iteração 2:
  • m_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}=\dfrac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  • Calcular f(m_2)=\cos(0{,}75)-0{,}75. f(0{,}75)\approx 0{,}7316888689-0{,}75=-0{,}0183111311<0.
  • Agora f(m_2) tem sinal oposto a f(a_1) (pois f(a_1)>0), então a raiz está em [a_1,m_2]=[0{,}5,0{,}75].
  • Novo intervalo: a_2=0{,}5,\\ b_2=0{,}75.

Passo 6

Iteração 3:
  • m_3=\dfrac{a_2+b_2}{2}=\dfrac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
  • Calcular f(m_3)=\cos(0{,}625)-0{,}625. f(0{,}625)\approx 0{,}8109630961-0{,}625=0{,}1859630961>0.
  • Como f(m_3) e f(b_2) têm sinais opostos, a raiz está em [m_3,b_2]=[0{,}625,0{,}75].
  • Novo intervalo: a_3=0{,}625,\\ b_3=0{,}75.

Passo 7

Iteração 4:
  • m_4=\dfrac{a_3+b_3}{2}=\dfrac{0{,}625+0{,}75}{2}=0{,}6875.
  • Calcular f(m_4)=\cos(0{,}6875)-0{,}6875. f(0{,}6875)\approx 0{,}772...-0{,}6875\approx 0{,}084\\ (>0).(o importante aqui é o sinal: f(0{,}6875)>0.)
  • Assim a raiz está em [m_4,b_3]=[0{,}6875,0{,}75].
  • Novo intervalo: a_4=0{,}6875,\\ b_4=0{,}75.

Passo 8

Iteração 5:
  • m_5=\dfrac{a_4+b_4}{2}=\dfrac{0{,}6875+0{,}75}{2}=0{,}71875.
  • Calcular f(m_5)=\cos(0{,}71875)-0{,}71875. f(0{,}71875)\approx 0{,}752...-0{,}71875\approx 0{,}033\\ (>0).(novamente o que importa é o sinal: f(0{,}71875)>0.)
  • Então a raiz está em [m_5,b_4]=[0{,}71875,0{,}75].
  • Novo intervalo: a_5=0{,}71875,\\ b_5=0{,}75.

Passo 9

Iteração 6:
  • m_6=\dfrac{a_5+b_5}{2}=\dfrac{0{,}71875+0{,}75}{2}=0{,}734375.
  • Calcular f(m_6)=\cos(0{,}734375)-0{,}734375. f(0{,}734375)\approx 0{,}740...-0{,}734375\approx 0{,}0066\\ (>0).
  • Como f(m_6)>0 e f(b_5)<0, a raiz está no intervalo [m_6,b_5]=[0{,}734375,0{,}75].
Agora terminamos as 6 iterações previstas. O intervalo final é [a_6,b_6]=[0{,}734375,0{,}75].
Cálculo do erro garantido e escolha da aproximação:
  • Comprimento do intervalo final: b_6-a_6=0{,}75-0{,}734375=0{,}015625=\dfrac{1}{64}.
  • O erro máximo ao tomar o ponto médio do intervalo final é \dfrac{b_6-a_6}{2}=\dfrac{1}{128}\approx 0{,}0078125<0{,}01.
  • Ponto médio do intervalo final: x_{\text{aprox}}=\frac{a_6+b_6}{2}=\frac{0{,}734375+0{,}75}{2}=0{,}7421875.
  • Portanto x_{\text{aprox}}=0{,}7421875 é uma aproximação da raiz com erro absoluto garantido menor que 10^{-2}.
Se quiser, nota: o zero real de f (a solução de \cos x=x) é aproximadamente 0{,}739085\ldots, e a nossa aproximação 0{,}7421875 difere dessa por cerca de 0{,}0031, bem dentro da tolerância pedida.

Resposta

x\approx 0,7421875

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