Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que a função
tem ao menos um zero no intervalo
; (2) aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação desse zero com erro absoluto menor que
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - A tolerância de erro absoluta desejada é
.
Passo 2
Mostrar existência de raiz (teorema do valor intermediário / Bolzano).
Explicação rápida do teorema usado: se uma função
é contínua em um intervalo
e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma
tal que
. Aqui precisamos apenas verificar que
é contínua em
e que
e
têm sinais opostos.
- A função
é contínua em e é contínua, logo é contínua em . - Calcular
nas extremidades:
- Como
e , por Bolzano existe pelo menos um tal que .
Comentário: portanto há pelo menos uma raiz em
. Agora vamos encontrá‑la aproximadamente pelo método da bissecção.
Passo 3
Descrição do método da bissecção e cálculo do número de iterações necessárias.
Como funciona (intuição e fórmula):
- Começa-se com um intervalo
tal que e têm sinais opostos. - Em cada iteração
calcula‑se o ponto médio . Se acabamos; se tem sinal oposto a então colocamos (a raiz está em ), senão colocamos (a raiz está em ). - Após
iterações o comprimento do intervalo é . Tomando a aproximação como o ponto médio do intervalo final, o erro máximo garantido é
Queremos esse erro menor que
. No nosso caso
, então exigimos
Tomando logaritmo em base 2,
logo
é suficiente (com
obtemos erro máximo
).
Portanto iremos realizar 6 iterações de bissecção e, ao final, tomar o ponto médio do intervalo resultante como aproximação com erro garantido menor que
.
Passo 4
Preparação inicial e primeira iteração.
- Intervalo inicial:
. - Já calculamos
e .
Iteração 1:
-
- Calcular
. - Como
e têm sinais opostos, a raiz está em . - Novo intervalo:
.
Passo 5
Iteração 2:
-
- Calcular
. - Agora
tem sinal oposto a (pois ), então a raiz está em . - Novo intervalo:
.
Passo 6
Iteração 3:
-
- Calcular
. - Como
e têm sinais opostos, a raiz está em . - Novo intervalo:
.
Passo 7
Iteração 4:
-
- Calcular
. (o importante aqui é o sinal: .) - Assim a raiz está em
. - Novo intervalo:
.
Passo 8
Iteração 5:
-
- Calcular
. (novamente o que importa é o sinal: .) - Então a raiz está em
. - Novo intervalo:
.
Passo 9
Iteração 6:
-
- Calcular
. - Como
e , a raiz está no intervalo .
Agora terminamos as 6 iterações previstas. O intervalo final é
.
Cálculo do erro garantido e escolha da aproximação:
- Comprimento do intervalo final:
- O erro máximo ao tomar o ponto médio do intervalo final é
. - Ponto médio do intervalo final:
- Portanto
é uma aproximação da raiz com erro absoluto garantido menor que .
Se quiser, nota: o zero real de
(a solução de
) é aproximadamente
, e a nossa aproximação
difere dessa por cerca de
, bem dentro da tolerância pedida.