Mostre que
Passo 1
Beleza, aqui a gente quer mostrar que, em termos de operações em um anel ou em um grupo abeliano (tipo os números reais), o “menos a” é o mesmo que multiplicar a por –1.
Conteúdo: teoria de grupos (adição e inverso aditivo) e teoria de anéis (multiplicação, elemento –1 e distributividade).
O que vamos usar:
Conteúdo: teoria de grupos (adição e inverso aditivo) e teoria de anéis (multiplicação, elemento –1 e distributividade).
O que vamos usar:
- A definição de inverso aditivo: para todo elemento
, existe tal que
- A definição de
como inverso aditivo de :
- A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
Passo 2
Vamos considerar a expressão
. A ideia é mostrar que ela dá zero, porque aí
se comporta exatamente como o inverso aditivo de
.
Escrevendo:
Escrevendo:
Passo 3
Aplicamos a distributividade “ao contrário” pensando em “fator comum
”:
Aqui usamos que
.
Passo 4
Sabendo que
(definição de
), temos
Passo 5
E por definição de elemento zero em um anel,
. Logo
Mas isso significa exatamente que
é o inverso aditivo de
.
Resposta
Portanto, concluímos que