Mostre que -a=(-1) cdot a

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer mostrar que, em termos de operações em um anel ou em um grupo abeliano (tipo os números reais), o “menos a” é o mesmo que multiplicar a por –1.
Conteúdo: teoria de grupos (adição e inverso aditivo) e teoria de anéis (multiplicação, elemento –1 e distributividade).
O que vamos usar:
  1. A definição de inverso aditivo: para todo elemento a + (-a) = 0 , existe 1 + (-1) = 0 tal que
(x + y)cdot z = xcdot z + ycdot z
  1. A definição de como inverso aditivo de :
  1. A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:

Passo 2

Vamos considerar a expressão (-1)cdot a + a . A ideia é mostrar que ela dá zero, porque aí se comporta exatamente como o inverso aditivo de .
Escrevendo:

Passo 3

Aplicamos a distributividade “ao contrário” pensando em “fator comum (-1)cdot a + 1cdot a ;=; l((-1) + 1r)cdot a ”:
Aqui usamos que .

Passo 4

Sabendo que l((-1) + 1r)cdot a ;=; 0cdot a (definição de ), temos

Passo 5

E por definição de elemento zero em um anel, (-1)cdot a + a = 0 . Logo
Mas isso significa exatamente que é o inverso aditivo de .

Resposta

Portanto, concluímos que
-a = (-1)cdot a

Exercícios relacionados