Mostre que se
, então
Passo 1
Beleza, a questão é a seguinte: “Mostre que, se
, então
.”
Conteúdo: aqui a gente tá andando na parte de corpo ordenado (no caso, os reais) – ou seja, a gente sabe que existe inverso multiplicativo (o ) e que há uma noção de “positivo” com umas regrinhas legais (por exemplo, produto de dois positivos é positivo).
O que vamos precisar:
Conteúdo: aqui a gente tá andando na parte de corpo ordenado (no caso, os reais) – ou seja, a gente sabe que existe inverso multiplicativo (o
O que vamos precisar:
- Saber que em
, . - Saber que, se um número
e outro , então . - A ideia de usar prova por absurdo (assumir o contrário e achar contradição).
Passo 2
Primeiro, vamos assumir o contrário do que queremos provar: que
NÃO é positivo. Como
não pode ser zero (pois
implica
, logo seu inverso também não é zero), sobra só a possibilidade de
Passo 3
Agora, multiplica os dois lados dessa desigualdade pela
. Como estamos assumindo que
e sabendo da regra de ordem de corpo ordenado, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva o sinal da desigualdade. Logo:
Isso dá
Por quê? Porque
(definição de inverso) e
.
Passo 4
Mas “
” é impossível, pois a gente sabe que o número
é maior que zero em
. Encontramos, então, uma contradição pura.
Resposta
Portanto nossa suposição de que
era falsa, e o único jeito (restante) é ter