Mostre que se a>0, então a^-1>0

Passo 1

Beleza, a questão é a seguinte: “Mostre que, se , então .”
Conteúdo: aqui a gente tá andando na parte de corpo ordenado (no caso, os reais) – ou seja, a gente sabe que existe inverso multiplicativo (o ) e que há uma noção de “positivo” com umas regrinhas legais (por exemplo, produto de dois positivos é positivo).
O que vamos precisar:
  1. Saber que em , .
  2. Saber que, se um número e outro , então .
  3. A ideia de usar prova por absurdo (assumir o contrário e achar contradição).

Passo 2

Primeiro, vamos assumir o contrário do que queremos provar: que (hipótese) a^-1<0 NÃO é positivo. Como não pode ser zero (pois implica , logo seu inverso também não é zero), sobra só a possibilidade de
ó

Passo 3

Agora, multiplica os dois lados dessa desigualdade pela acdotl(a^-1r) < acdot 0 . Como estamos assumindo que 1 < 0 e sabendo da regra de ordem de corpo ordenado, multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva o sinal da desigualdade. Logo:
Isso dá
Por quê? Porque (definição de inverso) e .

Passo 4

Mas “ ” é impossível, pois a gente sabe que o número é maior que zero em . Encontramos, então, uma contradição pura.

Resposta

Portanto nossa suposição de que boxeda^-1>0 era falsa, e o único jeito (restante) é ter

Exercícios relacionados