Seja a neq 1. Prove, por indução finita, que
1+a+a^2+a^3+cdots+a^n=1-a^n+11-a

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: seja 1 + a + a^2 + cdots + a^n ;=;1 - a^n+11 - a , prove por indução finita que
Isso é uma soma de progressão geométrica. Para resolver, a gente vai usar:
  • O princípio da indução finita, que é assim:
    1. Mostrar que a fórmula vale para .
    2. Assumir que ela vale para um genérico (hipótese de indução).
    3. Provar que, sob essa hipótese, vale para .
  • Regras básicas de manipulação algébrica (adição de frações, fator comum, etc.).

Passo 2

(Base da indução)
Vamos testar 1 - a^0+11 - a =1 - a1 - a =1 .
Lado esquerdo: só tem um termo, é .
Lado direito:
Então para os dois lados dão . A base está ok!

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que para um certo 1 + a + a^2 + cdots + a^n =1 - a^n+11 - a já saibamos que
1 + a + a^2 + cdots + a^n + a^n+1 =1 - a^(n+1)+11 - a =1 - a^n+21 - a
A meta agora é mostrar que, sob essa suposição, vale também

Passo 4

(Indução)
Começamos com o lado esquerdo para 1 + a + cdots + a^n + a^n+1 =l(1 + a + cdots + a^nr) + a^n+1 :
1 - a^n+11 - a + a^n+1
Pelo que assumimos (hipótese), isso é
1 - a^n+11 - a + a^n+1 =1 - a^n+11 - a + a^n+1(1 - a)1 - a
Agora vamos juntar numa única fração com denominador 1 - a^n+1 + a^n+1(1 - a) =1 - a^n+1 + a^n+1 - a^n+2 =1 - a^n+2 :
1 + a + cdots + a^n+1 =1 - a^n+21 - a,
No numerador:
Logo
que é exatamente o que queríamos provar para .

Resposta

Portanto, por indução finita, para todo boxed1 + a + a^2 + cdots + a^n ;=;1 - a^n+11 - a e vale

Exercícios relacionados