Seja
. Prove, por indução finita, que
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: seja
, prove por indução finita que
Isso é uma soma de progressão geométrica. Para resolver, a gente vai usar:
- O princípio da indução finita, que é assim:
- Mostrar que a fórmula vale para
. - Assumir que ela vale para um
genérico (hipótese de indução). - Provar que, sob essa hipótese, vale para
.
- Mostrar que a fórmula vale para
- Regras básicas de manipulação algébrica (adição de frações, fator comum, etc.).
Passo 2
(Base da indução)
Vamos testar .
Lado esquerdo: só tem um termo, é .
Lado direito:
Vamos testar
Lado esquerdo: só tem um termo, é
Lado direito:
Então para
os dois lados dão
. A base está ok!
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que para um certo já saibamos que
Suponha que para um certo
A meta agora é mostrar que, sob essa suposição, vale também
Passo 4
(Indução)
Começamos com o lado esquerdo para :
Começamos com o lado esquerdo para
Pelo que assumimos (hipótese), isso é
Agora vamos juntar numa única fração com denominador
:
No numerador:
Logo
que é exatamente o que queríamos provar para
.
Resposta
Portanto, por indução finita, para todo
e
vale