Observar que
cl 1 & =1 1-4 & =-(1+3) 1-4+9 & =1+2+3 1-4+9-16 & =-(1+2+3+4)
Inferir a expressão geral e prová-la por indução

Passo 1

O que a gente tem aqui é uma sequência de somas de quadrados com sinal alternado:
1, 1-4, 1-4+9, 1-4+9-16,;dots
E observamos que elas resultam sempre em ± (soma dos primeiros inteiros).
Isso cai em “Sequências e Somatórios” e a gente vai usar “Prova por Indução” para confirmar a fórmula que adivinhar.

Passo 2

Vamos tentar ver o padrão:
Para sumk=1^1(-1)^k-1k^2 ;=; 1 ;=;(+1),1 :
sumk=1^2(-1)^k-1k^2 ;=; 1-4 ;=;-3 ;=;(-1),(1+2)
Para 1-4+9;=;6 ;=;(+1),(1+2+3) :
1-4+9-16;=;-10 ;=;(-1),(1+2+3+4)
Para boxed sumk=1^n(-1)^k-1k^2 ;=; (-1)^n-1,n(n+1)2 :
Para :
Repare que o sinal é e a soma vale .
Então a “chute” (fórmula geral) é

Passo 3

Agora vem a prova por indução. A indução tem dois pedaços:
  1. Caso base ( ).
  2. Passo indutivo (se vale para , então vale para ).

Passo 4

Caso base ( sumk=1^1(-1)^k-1k^2 = 1 e (-1)^1-11cdot22 = 1, ):
logo bate certinho.

Passo 5

Passo indutivo: suponha que para um certo sumk=1^n(-1)^k-1k^2 = (-1)^n-1,n(n+1)2 valha
[
\sum_{k=1}n(-1){k-1}k^2

(-1)^{n-1},\frac{n(n+1)}{2}.
]
A gente quer mostrar que então
(\sum_{k=1}{n+1}(-1){k-1}k^2

(-1)^{n},\frac{(n+1)(n+2)}{2}.)

Começamos adicionando o próximo termo sumk=1^n+1(-1)^k-1k^2 = underbracesumk=1^n(-1)^k-1k^2(-1)^n-1n(n+1)2 ;+;(-1)^n(n+1)^2 :
[
\sum_{k=1}{n+1}(-1){k-1}k^2

\underbrace{\sum_{k=1}{n}(-1){k-1}k2}_{\displaystyle(-1){n-1}\frac{n(n+1)}{2}}
;+;(-1)n(n+1)2.
]
Substituindo a hipótese de indução:
= (-1)^n-1n(n+1)2 ;+;(-1)^n(n+1)^2
Fatoramos = (-1)^n-1(n+1)l(n2 - (n+1)r) e n2 - (n+1) = n - 2n -22 = -n+22 :
= (-1)^n-1(n+1)l(-n+22r) = (-1)^n,(n+1)(n+2)2,
Dentro do parêntese:
Então
que é exatamente o que a gente queria mostrar.

Resposta

[
\boxed{
\sum_{k=1}n(-1){k-1}k^2

(-1)^{n-1},\frac{n(n+1)}{2}.
}
]

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