Observar que
Inferir a expressão geral e prová-la por indução
Passo 1
O que a gente tem aqui é uma sequência de somas de quadrados com sinal alternado:
E observamos que elas resultam sempre em ± (soma dos primeiros inteiros).
Isso cai em “Sequências e Somatórios” e a gente vai usar “Prova por Indução” para confirmar a fórmula que adivinhar.
Passo 2
Vamos tentar ver o padrão:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Repare que o sinal é
e a soma
vale
.
Então a “chute” (fórmula geral) é
Então a “chute” (fórmula geral) é
Passo 3
Agora vem a prova por indução. A indução tem dois pedaços:
- Caso base (
). - Passo indutivo (se vale para
, então vale para ).
Passo 4
Caso base (
):
logo bate certinho.
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para um certo
valha
[
\sum_{k=1}n(-1){k-1}k^2
(-1)^{n-1},\frac{n(n+1)}{2}.
]
A gente quer mostrar que então
(\sum_{k=1}{n+1}(-1){k-1}k^2
(-1)^{n},\frac{(n+1)(n+2)}{2}.)
Começamos adicionando o próximo termo
:
[
\sum_{k=1}{n+1}(-1){k-1}k^2
\underbrace{\sum_{k=1}{n}(-1){k-1}k2}_{\displaystyle(-1){n-1}\frac{n(n+1)}{2}}
;+;(-1)n(n+1)2.
]
;+;(-1)n(n+1)2.
]
Substituindo a hipótese de indução:
Fatoramos
e
:
Dentro do parêntese:
Então
que é exatamente o que a gente queria mostrar.
Resposta
[
\boxed{
\sum_{k=1}n(-1){k-1}k^2
(-1)^{n-1},\frac{n(n+1)}{2}.
}
]
}
]