Mostre que a expressão
é um inteiro para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O exercício pede para mostrar que, para todo inteiro
, a expressão
é um número inteiro. Isso envolve dois conceitos principais:
- fatoriais (o que é
e ) e - uma ideia de combinatória para justificar por que essa fração não “quebra” em número não inteiro.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é fatorial:
-
significa .
Logo,conta todas as maneiras de ordenar objetos diferentes em fila. Se você tivesse pessoas e quisesse sentar elas em fila, teria exatamente possibilidades.
Passo 3
Agora, queremos dividir essas
ordenações por
. Por quê? Porque a gente vai usar um argumento que “embaralha” menos do que todas as filas: vamos agrupar as
pessoas em
pares e não nos importamos nem com a ordem dentro de cada par, nem com a ordem entre os pares.
- Cada par pode ser trocado de posição (quem fica na cadeira da esquerda ou da direita no par), são 2 formas. Com
pares, isso dá trocas possíveis que não queremos diferenciar. - Além disso, trocar o par 1 com o par 2, ou com o par 3 etc., também não faz diferença para a gente. São
formas de permutar esses pares.
Então, quando dividimos
por
, estamos exatamente “ignorando” essas ordens extras que não interessam e contando apenas de quantas formas podemos formar os
pares (sem nos preocupar com a ordem dentro de cada par nem entre os pares).
Passo 4
Essa nova contagem – “de quantas maneiras emparelhar
pessoas” – só pode ser um número inteiro, porque é literalmente contar quantas configurações existem. Não faz sentido ter, tipo, 3,7 maneiras de emparelhar.
Portanto
é o número de emparelhamentos de
objetos, logo é um inteiro.
Resposta
A expressão
é um número inteiro para todo
, pois ela conta de fato o número de maneiras de dividir
itens em
pares, sem considerar ordem dentro de cada par nem entre pares.