Mostre que a expressão (2 n) ! / 2^n n ! é um inteiro para todo n >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O exercício pede para mostrar que, para todo inteiro (2n)!2^n,n! , a expressão
é um número inteiro. Isso envolve dois conceitos principais:
  1. fatoriais (o que é e ) e
  2. uma ideia de combinatória para justificar por que essa fração não “quebra” em número não inteiro.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é fatorial:
  • significa .
    Logo, conta todas as maneiras de ordenar objetos diferentes em fila. Se você tivesse pessoas e quisesse sentar elas em fila, teria exatamente possibilidades.

Passo 3

Agora, queremos dividir essas ordenações por . Por quê? Porque a gente vai usar um argumento que “embaralha” menos do que todas as filas: vamos agrupar as pessoas em pares e não nos importamos nem com a ordem dentro de cada par, nem com a ordem entre os pares.
  • Cada par pode ser trocado de posição (quem fica na cadeira da esquerda ou da direita no par), são 2 formas. Com pares, isso dá trocas possíveis que não queremos diferenciar.
  • Além disso, trocar o par 1 com o par 2, ou com o par 3 etc., também não faz diferença para a gente. São formas de permutar esses pares.
Então, quando dividimos por , estamos exatamente “ignorando” essas ordens extras que não interessam e contando apenas de quantas formas podemos formar os pares (sem nos preocupar com a ordem dentro de cada par nem entre os pares).

Passo 4

Essa nova contagem – “de quantas maneiras emparelhar (2n)!2^n,n! pessoas” – só pode ser um número inteiro, porque é literalmente contar quantas configurações existem. Não faz sentido ter, tipo, 3,7 maneiras de emparelhar.
Portanto
é o número de emparelhamentos de objetos, logo é um inteiro.

Resposta

A expressão é um número inteiro para todo , pois ela conta de fato o número de maneiras de dividir itens em pares, sem considerar ordem dentro de cada par nem entre pares.

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