Mostre que, \forall n \in \mathbb{N} \cup\{0\}
\quad 17 \mid\left(10^{2 n+1}+7^{2 n+1}\right))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, o número
10^{2n+1}+7^{2n+1}
é múltiplo de 17. O conteúdo principal aqui é aritmética modular: vamos usar congruências modulares para simplificar a expressão e concluir que ela é congruente a zero módulo 17.

Passo 2

Observamos que, em \bmod 17,
10 \equiv -7 \pmod{17}
pois 10+7=17.

Passo 3

Como 2n+1 é ímpar, elevamos ambos os lados da congruência ao expoente 2n+1:
10^{2n+1} \equiv (-7)^{2n+1} \pmod{17}.
Mas (-7)^{2n+1} = -\,7^{2n+1}. Logo,
10^{2n+1} \equiv -\,7^{2n+1} \pmod{17}.

Passo 4

Somando 7^{2n+1} em ambos os lados da congruência, obtemos
10^{2n+1} + 7^{2n+1} \equiv -\,7^{2n+1} + 7^{2n+1} \equiv 0 \pmod{17}.
Isso mostra que 17 divide 10^{2n+1}+7^{2n+1}.

Resposta

Está provado que, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\},
17 \mid \bigl(10^{2n+1} + 7^{2n+1}\bigr).

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