Sejam a, b \in \mathbb{Z}.
Se a+b \neq 0, mostre que, \forall n \in \mathbb{N}, temos que a+b divide a^{2 n+1}+b^{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado diz que temos inteiros a,b com a+b\neq0 e pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N},
a+b \;\bigm|\; a^{2n+1}+b^{2n+1}.
O que vamos usar é noção de congruência módulo a+b: se um número divide outro, então podemos substituir um por outro igual módulo esse divisor.

Passo 2

Como a+b divide a+b trivialmente, obtemos
a \equiv -b \pmod{a+b}.
Isto significa que, ao trabalhar módulo a+b, podemos trocar a por -b.

Passo 3

Elevando a relação anterior à potência 2n+1, que é ímpar, vem
a^{2n+1} \equiv (-b)^{2n+1} \pmod{a+b} \quad\Longrightarrow\quad a^{2n+1} \equiv -\,b^{2n+1} \pmod{a+b}.

Passo 4

Somando b^{2n+1} em ambos os lados da congruência, obtemos
a^{2n+1} + b^{2n+1} \equiv -\,b^{2n+1} + b^{2n+1} \equiv 0 \pmod{a+b}.
Isso diz exatamente que a+b divide a^{2n+1}+b^{2n+1}.

Resposta

Portanto, para todo n\in\mathbb{N}, vale
a+b \;\bigm|\; a^{2n+1}+b^{2n+1}.

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