Sejam a, b \in \mathbb{Z}.
Se a \neq b, mostre que, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2, temos que a-b divide a^{n}-b^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer a,b\in\mathbb{Z} com a\neq b e todo n\in\mathbb{N}, n\ge2, temos
a-b\mid a^n - b^n.
O truque é usar a fatoração clássica da diferença de potências, que vem da soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Considere a soma
S = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}.
Multiplicando S por (a-b) obtemos
(a-b)\,S = a\bigl(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}\bigr) - b\bigl(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}\bigr).
Ao desenvolver cada produto, todas as parcelas intermediárias se cancelam em “cascata”, sobrando apenas
(a-b)\,S = a^n \;-\; b^n.
Portanto
a^n - b^n = (a-b)\,S.

Passo 3

Como S é soma de potências inteiras de a e b, temos S\in\mathbb{Z}. Logo (a-b) é divisor de a^n - b^n, isto é,
a-b\mid a^n - b^n \quad\forall\,n\in\mathbb{N},\;n\ge2.

Resposta

Foi demonstrado que
a^n - b^n = (a-b)\bigl(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + b^{n-1}\bigr),
portanto a-b divide a^n - b^n para todo n\ge2.

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