Questão 3. (20 pts) Considere a função f(x)=x^{3}-4 x+1. Sabe-se que f(0)=1 e f(1)=-2.
  1. Complete a tabela abaixo com os valores das próximas iterações do método da bisseção, começando com o intervalo inicial [0,1]. Considere \varepsilon=0.1. A tabela deve ser preenchida na folha de resolução, mas não aqui nesta folha.
Iteração k a b x_{k} f\left(x_{k}\right)
1 0 1 0.5 -0.875
2
3
  1. Use os resultados acima para justificar se o método atingiu ou não o erro absoluto menor que \varepsilon.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede completar as próximas iterações do método da bisseção começando do intervalo inicial [0,1] e com \varepsilon=0,1. A tabela já tem a iteração 1: a=0, b=1, x_{1}=0,5, f(x_{1})=-0,875.
  • Depois, usar esses resultados para justificar se o método já atingiu erro absoluto menor que \varepsilon.
    Dados conhecidos extraídos do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{3}-4x+1.
  • f(0)=1 e f(1)=-2.
  • Iteração 1 (dada): a_{1}=0, b_{1}=1, x_{1}=0,5, f(x_{1})=-0,875.
    A partir daqui vamos calcular iterações 2 e 3 e verificar o critério de erro.

Passo 2

Regra do método da bisseção (passo a passo que vou aplicar):
  • Em cada iteração com intervalo [a,b] calcula-se o ponto médio \displaystyle x=\frac{a+b}{2}.
  • Avalia-se f(x). Como existe mudança de sinal entre a e b (isto é, f(a)\cdot f(b)<0), a raiz está em um dos subintervalos [a,x] ou [x,b].
  • Escolhe-se o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal: se f(a)\cdot f(x)<0 toma-se [a,x]; caso contrário toma-se [x,b].
  • Uma estimativa rigorosa do erro absoluto da aproximação x (distância até a raiz real \alpha) é dada por
|x-\alpha|\le\frac{b-a}{2},
pois a raiz está dentro do intervalo [a,b] e a máxima distância do ponto médio até qualquer ponto do intervalo é metade do comprimento do intervalo.

Passo 3

Usando a iteração 1 dada para decidir o próximo intervalo:
  • Temos f(0)=1 e f(0,5)=-0,875. O produto é f(0)\cdot f(0,5)=1\cdot(-0,875)=-0,875<0.
  • Portanto a raiz pertence ao subintervalo [0,0,5].
  • Para a iteração 2 tomamos a_{2}=0 e b_{2}=0,5.

Passo 4

Cálculo da iteração 2 (detalhando as contas para eu conseguir reproduzir na prova):
  • Ponto médio:
x_{2}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2}=\frac{0+0,5}{2}=0,25.
  • Avaliar f(0,25). Calcule 0,25^{3}=0,015625. Então
f(0,25)=0,015625-4\cdot 0,25+1=0,015625-1+1=0,015625.
  • Sinal: f(0,25)=0,015625>0 e f(0,5)=-0,875<0. Logo há mudança de sinal entre x_{2}=0,25 e b_{2}=0,5.
  • Portanto o próximo intervalo será [a_{3},b_{3}]=[0,25,0,5].

Passo 5

Cálculo da iteração 3 (novamente com as contas detalhadas):
  • Ponto médio:
x_{3}=\frac{a_{3}+b_{3}}{2}=\frac{0,25+0,5}{2}=0,375.
  • Avaliar f(0,375). Calcule 0,375^{3}=0,052734375. Então
f(0,375)=0,052734375-4\cdot 0,375+1=0,052734375-1,5+1=-0,447265625.
  • Sinal: f(0,25)=0,015625>0 e f(0,375)=-0,447265625<0. Logo a raiz está no subintervalo [0,25,0,375] após a iteração 3.

Passo 6

Resumo numérico das iterações (valores que preencheriam a tabela):
  • Iteração 1 (dada): a=0, b=1, x_{1}=0,5, f(x_{1})=-0,875.
  • Iteração 2: a=0, b=0,5, x_{2}=0,25, f(x_{2})=0,015625.
  • Iteração 3: a=0,25, b=0,5, x_{3}=0,375, f(x_{3})=-0,447265625.
    (na folha de resolução preencha as linhas 2 e 3 com esses números).

Passo 7

Verificação do erro absoluto em relação a \varepsilon=0,1:
  • Após a iteração 3 o intervalo atual que contém a raiz é [a_{3},b_{3}]=[0,25,0,375].
  • O comprimento desse intervalo é b_{3}-a_{3}=0,375-0,25=0,125.
  • Pelo critério do método temos a cota de erro
|x_{3}-\alpha|\le\frac{b_{3}-a_{3}}{2}=\frac{0,125}{2}=0,0625.
  • Como 0,0625<0,1=\varepsilon, concluímos que a aproximação x_{3}=0,375 já garante erro absoluto menor que \varepsilon.

Resposta

Iteração 2: a=0, b=0,5, x_{2}=0,25, f(x_{2})=0,015625
Iteração 3: a=0,25, b=0,5, x_{3}=0,375, f(x_{3})=-0,447265625
Erro absoluto menor que \varepsilon=0,1? Sim. ( |x_{3}-\alpha|\le\tfrac{b_{3}-a_{3}}{2}=0,0625<0,1)

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