Questão 3. (20 pts) Considere a função
. Sabe-se que
e
.
- Complete a tabela abaixo com os valores das próximas iterações do método da bisseção, começando com o intervalo inicial
. Considere
. A tabela deve ser preenchida na folha de resolução, mas não aqui nesta folha.
Iteração
1
0
1
0.5
-0.875
2
3
- Use os resultados acima para justificar se o método atingiu ou não o erro absoluto menor que
.
| Iteração
|
|
|
|
|
| 1 | 0 | 1 | 0.5 | -0.875 |
| 2 | ||||
| 3 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede completar as próximas iterações do método da bisseção começando do intervalo inicial
e com . A tabela já tem a iteração 1: , , , . - Depois, usar esses resultados para justificar se o método já atingiu erro absoluto menor que
.
Dados conhecidos extraídos do enunciado: - A função é
. -
e . - Iteração 1 (dada):
, , , .
A partir daqui vamos calcular iterações 2 e 3 e verificar o critério de erro.
Passo 2
Regra do método da bisseção (passo a passo que vou aplicar):
- Em cada iteração com intervalo
calcula-se o ponto médio . - Avalia-se
. Como existe mudança de sinal entre e (isto é, ), a raiz está em um dos subintervalos ou . - Escolhe-se o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal: se
toma-se ; caso contrário toma-se . - Uma estimativa rigorosa do erro absoluto da aproximação
(distância até a raiz real ) é dada por
pois a raiz está dentro do intervalo
e a máxima distância do ponto médio até qualquer ponto do intervalo é metade do comprimento do intervalo.
Passo 3
Usando a iteração 1 dada para decidir o próximo intervalo:
- Temos
e . O produto é . - Portanto a raiz pertence ao subintervalo
. - Para a iteração 2 tomamos
e .
Passo 4
Cálculo da iteração 2 (detalhando as contas para eu conseguir reproduzir na prova):
- Ponto médio:
- Avaliar
. Calcule . Então
- Sinal:
e . Logo há mudança de sinal entre e . - Portanto o próximo intervalo será
.
Passo 5
Cálculo da iteração 3 (novamente com as contas detalhadas):
- Ponto médio:
- Avaliar
. Calcule . Então
- Sinal:
e . Logo a raiz está no subintervalo após a iteração 3.
Passo 6
Resumo numérico das iterações (valores que preencheriam a tabela):
- Iteração 1 (dada):
, , , . - Iteração 2:
, , , . - Iteração 3:
, , , .
(na folha de resolução preencha as linhas 2 e 3 com esses números).
Passo 7
Verificação do erro absoluto em relação a
:
- Após a iteração 3 o intervalo atual que contém a raiz é
. - O comprimento desse intervalo é
. - Pelo critério do método temos a cota de erro
- Como
, concluímos que a aproximação já garante erro absoluto menor que .
Resposta
Iteração 2:
,
,
,
Iteração 3: ,
,
,
Erro absoluto menor que ? Sim. (
)
Iteração 3:
Erro absoluto menor que