Mostre que a função
f(x)=cos (pi(x+1)8)+0.2 x-0.8
possui uma raiz no intervalo (-2,0) e uma raiz no intervalo (1,3).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que a função
f(x)=cos!l(pi(x+1)8r)+0.2x-0.8
tem uma raiz em cada um desses intervalos: e .
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e continuidade de funções.
O que vamos precisar:
  1. Mostrar que é contínua em .
  2. Avaliar nos extremos dos intervalos dados.
  3. Usar o TVI: se é contínua em e , então existe com .

Passo 2

Primeiro, continuidade.
  1. A função f(x)=cos!l(tfracpi(x+1)8r);+;0.2x;-;0.8 é contínua em todo lugar.
  2. A função é polinomial, logo contínua.
  3. Soma de funções contínuas é contínua.
    Então
é contínua em . Assim podemos aplicar o TVI nos intervalos que o exercício indicou.

Passo 3

Agora, avaliando nos extremos do primeiro intervalo f(-2)=cos!l(tfracpi(-2+1)8r)+0.2(-2)-0.8 =cos!l(-tfracpi8r)-0.4-0.8 =cos!l(tfracpi8r)-1.2 :
f(-2)approx0.9239-1.2=-0.2761<0
Sabendo f(0)=cos!l(tfracpi(0+1)8r)+0-0.8 =cos!l(tfracpi8r)-0.8 approx0.9239-0.8=0.1239>0 ,
E

Passo 4

Como f(c1)=0 é contínua em e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um tal que

Passo 5

Repetindo pro intervalo f(1)=cos!l(tfracpi(1+1)8r)+0.2cdot1-0.8 =cos!l(tfracpi4r)+0.2-0.8 =tfracraiz22-0.6 approx0.7071-0.6=0.1071>0 :
f(3)=cos!l(tfracpi(3+1)8r)+0.2cdot3-0.8 =cos!l(tfracpi2r)+0.6-0.8 =0-0.2=-0.2<0

Passo 6

De novo, f(c2)=0 é contínua em e . Pelo TVI existe ao menos um com

Resposta

A função possui pelo menos uma raiz em e pelo menos uma raiz em , conforme garantido pelo Teorema do Valor Intermediário.

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