Mostre que a função
possui uma raiz no intervalo
e uma raiz no intervalo
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que a função
tem uma raiz em cada um desses intervalos:
e
.
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e continuidade de funções.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (TVI) e continuidade de funções.
O que vamos precisar:
- Mostrar que
é contínua em . - Avaliar
nos extremos dos intervalos dados. - Usar o TVI: se
é contínua em e , então existe com .
Passo 2
Primeiro, continuidade.
- A função
é contínua em todo lugar. - A função
é polinomial, logo contínua. - Soma de funções contínuas é contínua.
Então
é contínua em
. Assim podemos aplicar o TVI nos intervalos que o exercício indicou.
Passo 3
Agora, avaliando nos extremos do primeiro intervalo
:
Sabendo
,
E
Passo 4
Como
é contínua em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que
Passo 5
Repetindo pro intervalo
:
Passo 6
De novo,
é contínua em
e
. Pelo TVI existe ao menos um
com
Resposta
A função
possui pelo menos uma raiz em
e pelo menos uma raiz em
, conforme garantido pelo Teorema do Valor Intermediário.