Uma progressão aritmética (P.A) é uma sequência de números reais \left(a_{n}\right) tal que a_{1} é dado, \forall n \in \mathbb{N}, tem-se que: a_{n+1}=a_{n}+r, onde r é um número real fixo chamado de razão
a. Mostre que a_{n}=a_{1}+(n-1) r
b. Se S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, mostre que s_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} \cdot r=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2}

Passo 1

O enunciado define uma P.A. com primeiro termo a_{1} e razão r satisfazendo
a_{n+1}=a_{n}+r\quad\forall n\in\mathbb{N}.
Precisamos encontrar
  1. a fórmula fechada a_{n} em função de a_{1}, r e n;
  2. a soma dos n primeiros termos
S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}
em duas formas equivalentes.

Passo 2

Para mostrar que
a_{n}=a_{1}+(n-1)\,r
usamos indução em n.
Base ( n=1): tem-se a_{1}=a_{1}+(1-1)\,r=a_{1}, certo.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha
a_{k}=a_{1}+(k-1)\,r.
Então
a_{k+1}=a_{k}+r=\bigl(a_{1}+(k-1)\,r\bigr)+r=a_{1}+k\,r,
o que é exatamente a fórmula para n=k+1. Assim por indução
a_{n}=a_{1}+(n-1)\,r\quad\forall n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Agora queremos
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}.
Substituindo a_{k}=a_{1}+(k-1)\,r, obtemos
S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\bigl(a_{1}+(k-1)\,r\bigr) =\sum_{k=1}^{n}a_{1}+r\sum_{k=1}^{n}(k-1).
Como \sum_{k=1}^{n}a_{1}=n\,a_{1} e \sum_{k=1}^{n}(k-1)=\sum_{j=0}^{n-1}j=\tfrac{(n-1)n}{2}, segue
S_{n} =n\,a_{1}+r\cdot\frac{n(n-1)}{2}.
Para ver que isso equivale a \frac{(a_{1}+a_{n})\,n}{2}, note que
a_{1}+a_{n} =a_{1}+\bigl(a_{1}+(n-1)\,r\bigr) =2\,a_{1}+(n-1)\,r,
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\frac{(a_{1}+a_{n})\,n}{2} =\frac{n\bigl(2a_{1}+(n-1)r\bigr)}{2} =n\,a_{1}+\frac{n(n-1)}{2}\,r.

Resposta

a_{n}=a_{1}+(n-1)\,r
S_{n}=n\,a_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2}\,r \;=\;\dfrac{(a_{1}+a_{n})\,n}{2}

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