Mostre que
para todo polinômio
de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Beleza, mano! A pergunta diz: “Mostre que
para todo polinômio de grau até 3.”
Isso é sobre quadratura de Gauss (um jeitão esperto de aproximar integrais), mas aqui a mágica é que, com 2 pontos ( ), ele é exato para polinômios de grau ≤ 3.
O que vamos usar:
para todo polinômio
Isso é sobre quadratura de Gauss (um jeitão esperto de aproximar integrais), mas aqui a mágica é que, com 2 pontos (
O que vamos usar:
- A noção de linearidade da integral (ou seja, se der pra provar essa igualdade nos monômios
, vale pra qualquer combinação linear deles). - Cálculo das integrais básicas
.
Passo 2
Primeiro, percebe que tanto
quanto
são funcionais lineares em . Ou seja, se eles coincidirem em uma base do espaço dos polinômios de grau ≤ 3, então coincidem em todo polinômio desse grau. A base natural é
.
quanto
são funcionais lineares em
Passo 3
Vamos testar cada monômio:
-
.
.
. -
.
(porque é simétrico).
. -
.
-
.
(de novo, simetria).
Como deu tudo certo nos quatro casos, por linearidade a fórmula vale para qualquer
de grau ≤ 3.
Resposta
Para todo polinômio
de grau menor ou igual a 3 vale