Mostre que integral-1^1 p(x) d x=p(-raiz33)+p(raiz33) para todo polinômio p de grau menor ou igual a 3.

Passo 1

Beleza, mano! A pergunta diz: “Mostre que

para todo polinômio de grau até 3.”
Isso é sobre quadratura de Gauss (um jeitão esperto de aproximar integrais), mas aqui a mágica é que, com 2 pontos ( ), ele é exato para polinômios de grau ≤ 3.
O que vamos usar:
  • A noção de linearidade da integral (ou seja, se der pra provar essa igualdade nos monômios , vale pra qualquer combinação linear deles).
  • Cálculo das integrais básicas .

Passo 2

Primeiro, percebe que tanto

quanto

são funcionais lineares em . Ou seja, se eles coincidirem em uma base do espaço dos polinômios de grau ≤ 3, então coincidem em todo polinômio desse grau. A base natural é .

Passo 3

Vamos testar cada monômio:
  1. .
    .
    .
  2. .
    (porque é simétrico).
    .
  3. .

  4. .
    (de novo, simetria).
Como deu tudo certo nos quatro casos, por linearidade a fórmula vale para qualquer de grau ≤ 3.

Resposta

Para todo polinômio de grau menor ou igual a 3 vale

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