A velocidade
de um corpo movendo-se horizontalmente foi medida em alguns instantes, obtendo-se a tabela
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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8.9 | 11.1 | 12.4 | 12.2 | 10.7 | 8.3 | 6.1 |
Sabendo-se que
, determine a posição
do objeto nos instantes
e 6 utizando a regra de Simpson com o menor espaçamento possível. Obtenha uma expressão para
usando interpolação polinomial nos instantes
(use a forma de Newton). Calcule
.
Passo 1
Beleza, temos um corpo que se move na horizontal e medimos sua velocidade nos instantes
s, conforme a tabela. A gente sabe que a posição inicial é
m e quer:
- Calcular
, e usando a regra de Simpson (integração numérica). - Montar um polinômio
que passa pelos pontos em usando interpolação de Newton. - Avaliar esse polinômio em
.
Conteúdo envolvido:
- Numérica: Regra de Simpson para aproximar
. - Teoria de interpolação: Dividindo diferenças progressivas e montando o polinômio na forma de Newton.
Passo 2
Explicando a regra de Simpson (versão composta):
- Para integrar de
a com passo e número de subintervalos par, - Depois somamos à posição inicial:
essa área.
Agora vamos aplicar com
,s, porque as medições estão de 1 em 1.
(a) Para
: vai de
a
, ou seja, 2 subintervalos (
, par).
Passo 3
(b) Para
: de
a
, 4 subintervalos (
).
Passo 4
© Para
: de
a
, 6 subintervalos (
).
Substituindo:
Passo 5
Agora interpolação pelo método de Newton nos pontos
.
- Diferenças divididas de 1ª ordem:
- Diferenças de 2ª ordem:
- Diferença de 3ª ordem:
Montando o polinômio de Newton:
Passo 6
Vamos achar
plugando
no polinômio:
Resposta
Usando Simpson temos:
m,
m,
m.
O polinômio de Newton é
E desse polinômio sai
m.