A velocidade v de um corpo movendo-se horizontalmente foi medida em alguns instantes, obtendo-se a tabela
t(s) 0 1 2 3 4 5 6
v(m / s) 8.9 11.1 12.4 12.2 10.7 8.3 6.1
Sabendo-se que s(0)=23 m, determine a posição s(t) do objeto nos instantes t=2,4 e 6 utizando a regra de Simpson com o menor espaçamento possível. Obtenha uma expressão para s(t) usando interpolação polinomial nos instantes t=0,2,4,6 (use a forma de Newton). Calcule s(2.5).

Passo 1

Beleza, temos um corpo que se move na horizontal e medimos sua velocidade nos instantes s, conforme a tabela. A gente sabe que a posição inicial é m e quer:
  1. Calcular , e usando a regra de Simpson (integração numérica).
  2. Montar um polinômio que passa pelos pontos em usando interpolação de Newton.
  3. Avaliar esse polinômio em .
Conteúdo envolvido:
  • Numérica: Regra de Simpson para aproximar .
  • Teoria de interpolação: Dividindo diferenças progressivas e montando o polinômio na forma de Newton.

Passo 2

Explicando a regra de Simpson (versão composta):
  • Para integrar de integral0^T v(t),dt approx h3l[v0+4v1+2v2+4v3+dots+2vn-2+4vn-1+vnr] a s(2)approx 23 + 13l[v(0)+4v(1)+v(2)r] = 23 + 13l[8.9 + 4cdot11.1 + 12.4r] = 23 + 65.73 = 23 + 21.9 = 44.9 m com passo e número de subintervalos par,
  • Depois somamos à posição inicial: essa área.
Agora vamos aplicar com ,s, porque as medições estão de 1 em 1.
(a) Para : vai de a , ou seja, 2 subintervalos ( , par).

Passo 3

(b) Para s(4)approx 23 + 13l[v0+4v1+2v2+4v3+v4r] = 23 + 13l[8.9 + 4cdot11.1 +2cdot12.4 +4cdot12.2 +10.7r] = 23 + 137.63 approx 23 + 45.8667 = 68.8667 m : de a , 4 subintervalos ( ).

Passo 4

© Para s(6)approx 23 + 13l[v0+4v1+2v2+4v3+2v4+4v5+v6r] : de =23 + 13l[8.9 + 4cdot11.1 + 2cdot12.4 +4cdot12.2 +2cdot10.7 +4cdot8.3 +6.1r] =23 + 187.63 approx 23 + 62.5333 =85.5333 m a , 6 subintervalos ( ).
Substituindo:

Passo 5

Agora interpolação pelo método de Newton nos pontos
f[0,2]=44.9-232-0=10.95, f[2,4]=68.8667-44.94-2=11.98335, f[4,6]=85.5333-68.86676-4=8.3333 .
  1. Diferenças divididas de 1ª ordem:
f[0,2,4]=11.98335-10.954-0=0.2583375, f[2,4,6]=8.3333-11.983356-2=-0.9125125
  1. Diferenças de 2ª ordem:
f[0,2,4,6] =-0.9125125-0.25833756-0 =-0.1951417
  1. Diferença de 3ª ordem:
s(t) =23 +10.95,t +0.2583375,t(t-2) -0.1951417,t(t-2)(t-4)
Montando o polinômio de Newton:

Passo 6

Vamos achar s(2.5)&=23 +10.95cdot2.5 +0.2583375cdot2.5,(2.5-2) -0.1951417cdot2.5,(2.5-2),(2.5-4) &=23 +27.375 +0.2583375cdot2.5cdot0.5 -0.1951417cdot2.5cdot0.5cdot(-1.5) &=23 +27.375 +0.32292 +0.36553 approx 51.06 m plugando no polinômio:

Resposta

Usando Simpson temos:
s(t)=23 +10.95,t +0.2583375,t(t-2) -0.1951417,t(t-2)(t-4) m, m, m.
O polinômio de Newton é
E desse polinômio sai
m.

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