Mostre que o lim n infty log (n+1)log (n)=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limntoinftylog(n+1)log(n)
Isto é um limite de sequência envolvendo logaritmos. Para resolver, vamos usar a propriedade de soma de logaritmos e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich).

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmo de um produto. Para n>=1:
log(n+1) = logl(ncdot(1+tfrac1n)r) = log(n) + logl(1+tfrac1nr)
Assim,
log(n+1)log(n) = 1 + logl(1+tfrac1nr)log(n)

Passo 3

Analisamos o termo
logl(1+tfrac1nr)log(n)
Como para x>-1 vale log(1+x)<= x, segue para n>=1:
0 <= logl(1+tfrac1nr)<= tfrac1n
Dividindo por log(n)>0,
0 <= logl(1+tfrac1nr)log(n) <= 1/nlog(n)
Como log(n)toinfty e 1/nto0, temos
limntoinfty1/nlog(n)=0,
e pelo Teorema do Confronto
limntoinftylogl(1+tfrac1nr)log(n)=0

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão do passo 2, conclui-se
limntoinftylog(n+1)log(n) = 1 + 0 = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados