Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
e as equações das assíntotas, quando existirem.
Para isso vamos analisar domínio e limites (para assíntotas), depois derivadas (monotonia, extremos e concavidade) e pontos notáveis para montar o esboço.
Para isso vamos analisar domínio e limites (para assíntotas), depois derivadas (monotonia, extremos e concavidade) e pontos notáveis para montar o esboço.
Passo 2
Domínio:
.
Limite em zero pela direita:
Limite em zero pela direita:
pois
domina. Logo há assíntota vertical
Limite em infinito:
não há assíntota horizontal. Para ver se há oblíqua, teste
logo não existe reta da forma
que seja assíntota oblíqua.
Passo 3
Derivada primeira:
Raízes em
e
.
Sinal de :
Sinal de
- Em
: ambos e (crescente). - Em
: , (decrescente). - Em
: , (crescente).
Extremos:
Passo 4
Derivada segunda:
Inflexão em
.
- Para
: (côncavo para baixo). - Para
: (côncavo para cima).
Ponto de inflexão em, com
Passo 5
Interceptos e raiz aproximada:
Não há intercepto em (domínio não inclui
).
Raiz em obtém-se por método numérico:
Não há intercepto em
Raiz em
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Em
: e assíntota vertical . - Cresce até
, depois decresce até , passando por ponto de inflexão em . - A seguir cresce, cruza o eixo
em e tende a sem assíntotas horizontais nem oblíquas.
Resposta
Assíntota vertical:
Não existem assíntotas horizontais nem oblíquas.