Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem:
f(x)=x-3 ln x-2x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x-3ln x-2x
e as equações das assíntotas, quando existirem.
Para isso vamos analisar domínio e limites (para assíntotas), depois derivadas (monotonia, extremos e concavidade) e pontos notáveis para montar o esboço.

Passo 2

Domínio: (0,infty).
Limite em zero pela direita:
limxto0^+f(x)=limxto0^+l(x-3ln x-tfrac2xr)=-infty,
pois -2/xto-infty domina. Logo há assíntota vertical
x=0
Limite em infinito:
limxtoinftyf(x)=limxtoinftyl(x-3ln x-tfrac2xr)=+infty,
não há assíntota horizontal. Para ver se há oblíqua, teste
m=limxtoinftyf(x)x=1, b=limxtoinftyl(f(x)-xr)=limxtoinftyl(-3ln x-tfrac2xr)=-infty,
logo não existe reta da forma y=mx+b que seja assíntota oblíqua.

Passo 3

Derivada primeira:
f'(x)=1-3x+2x^2 =x^2-3x+2x^2 =(x-1)(x-2)x^2
Raízes em x=1 e x=2.
Sinal de f':
  • Em (0,1): ambos x-1<0 e x-2<0 Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Em (1,2): x-1>0, x-2<0 Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Em (2,infty): x-1>0, x-2>0 Rightarrow f'>0 (crescente).
    Extremos:
f(1)=1-3cdot0-2=-1(máximo local), á
f(2)=2-3ln2-1=1-3ln2approx-1,079(mínimo local) í

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x)=3x^2-4x^3 =3x-4x^3
Inflexão em x=tfrac43.
  • Para 0<x<tfrac43: 3x-4<0 Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>tfrac43: 3x-4>0 Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
    Ponto de inflexão em x=4/3, com
fl(tfrac43r) =tfrac43-3lntfrac43-tfrac32

Passo 5

Interceptos e raiz aproximada:
Não há intercepto em y (domínio não inclui x=0).
Raiz em f(x)=0 obtém-se por método numérico:
xapprox5,46

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Em xto0^+: fto-infty e assíntota vertical x=0.
  • Cresce até (1,-1), depois decresce até (2,-1,079), passando por ponto de inflexão em (4/3,f(4/3)).
  • A seguir cresce, cruza o eixo x em xapprox5,46 e tende a +infty sem assíntotas horizontais nem oblíquas.

Resposta

Assíntota vertical:
x=0
Não existem assíntotas horizontais nem oblíquas.

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