Resolva os limites abaixo. Utilize a regra de L’Hospital quando possível e, quando não, explique por que não pode usar-la;
lim x 0^+ raizx ln x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0^+ raizx,ln x
O conteúdo envolvido são limites que apresentam forma indeterminada do tipo 0cdot(-infty). Para resolver, podemos usar a regra de L’Hospital após transformar o produto em quociente.

Passo 2

Ao observar raizxto0 e ln xto -infty quando xto0^+, temos indeterminação 0cdot(-infty). Para aplicar L’Hospital, reescrevemos
raizx,ln x =ln x1/raizx =ln xx^-1/2
Agora, quando xto0^+, o numerador ln xto -infty e o denominador x^-1/2to+infty, caracterizando forma tfrac-infty+infty, isto é, indeterminação tipo tfracinftyinfty.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador:
ddx(ln x)=1x, ddxl(x^-1/2r)=-tfrac12,x^-3/2
Logo, pela regra de L’Hospital,
limxto0^+ln xx^-1/2 =limxto0^+tfrac1x-tfrac12,x^-3/2 =limxto0^+l(tfrac1xcdot(-2),x^3/2r) =limxto0^+l(-2,x^1/2r)

Passo 4

Como raizxto0 quando xto0^+, temos
limxto0^+(-2,raizx)=0
Portanto o limite original também vale 0.

Resposta

0

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