Mostre que:
\mathrm{EA}_{x+y}=\mathrm{EA}_{x}+\mathrm{EA}_{y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num processo de contagem com incrementos independentes e estacionários \{A_t\}, vale
E\bigl[A_{x+y}\bigr] \;=\; E\bigl[A_x\bigr] \;+\; E\bigl[A_y\bigr].
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais:
  1. Incrementos independentes e estacionários, isto é, A_{x+y}-A_x é independente de A_x e tem mesma distribuição de A_y.
  2. A linearidade da esperança: para quaisquer variáveis aleatórias X e Y,
E[X+Y] \;=\; E[X] + E[Y].

Passo 2

Pela propriedade de incrementos independentes e estacionários, podemos escrever
A_{x+y} \;=\; A_x \;+\;\bigl(A_{x+y}-A_x\bigr),
sendo A_x e A_{x+y}-A_x variáveis independentes, e ainda
A_{x+y}-A_x \;\overset{d}{=}\; A_y.

Passo 3

Aplicando a linearidade da esperança ao desdobramento anterior, obtemos
E\bigl[A_{x+y}\bigr] = E\bigl[A_x + (A_{x+y}-A_x)\bigr] = E\bigl[A_x\bigr] \;+\; E\bigl[A_{x+y}-A_x\bigr].
Como A_{x+y}-A_x tem a mesma distribuição de A_y, segue
E\bigl[A_{x+y}-A_x\bigr] \;=\; E\bigl[A_y\bigr].
Logo
E\bigl[A_{x+y}\bigr] = E\bigl[A_x\bigr] + E\bigl[A_y\bigr].

Resposta

E\bigl[A_{x+y}\bigr] = E\bigl[A_x\bigr] + E\bigl[A_y\bigr].

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