Mostre que:
\mathrm{ER}_{x / y} \approx \mathrm{ER}_{x}-\mathrm{ER}_{y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao propagar erros relativos numa divisão, o erro relativo de x/y satisfaz
\mathrm{ER}_{x/y}\approx \mathrm{ER}_{x}-\mathrm{ER}_{y}.
O conteúdo é o uso da definição de erro relativo e da expansão em série de primeira ordem para 1/(1+\varepsilon).

Passo 2

Sejam x_{0} e y_{0} os valores “verdadeiros” de x e y e \delta x, \delta y os respectivos desvios, de modo que
x = x_{0} + \delta x, \quad y = y_{0} + \delta y.
Por definição, os erros relativos são
\mathrm{ER}_{x} = \frac{\delta x}{x_{0}}, \quad \mathrm{ER}_{y} = \frac{\delta y}{y_{0}}.

Passo 3

Escrevemos a razão medida x/y em função dos valores verdadeiros e dos desvios:
\frac{x}{y} = \frac{x_{0} + \delta x}{y_{0} + \delta y} = \frac{x_{0}}{y_{0}} \;\frac{1 + \frac{\delta x}{x_{0}}}{1 + \frac{\delta y}{y_{0}}}.

Passo 4

Para \varepsilon\ll1 vale
\frac{1}{1+\varepsilon}\approx 1-\varepsilon.
Aqui tomamos \varepsilon = \frac{\delta y}{y_{0}}, de modo que
\frac{1}{1+\frac{\delta y}{y_{0}}} \approx 1 - \frac{\delta y}{y_{0}}.

Passo 5

Aplicando essa aproximação em
\frac{x}{y} \approx \frac{x_{0}}{y_{0}} \Bigl(1 + \frac{\delta x}{x_{0}}\Bigr) \Bigl(1 - \frac{\delta y}{y_{0}}\Bigr),
temos
\frac{x}{y} \approx \frac{x_{0}}{y_{0}} \Bigl(1 + \frac{\delta x}{x_{0}} - \frac{\delta y}{y_{0}} - \frac{\delta x}{x_{0}}\frac{\delta y}{y_{0}}\Bigr).
Desprezando o termo de segunda ordem \frac{\delta x}{x_{0}}\frac{\delta y}{y_{0}}, fica
\frac{x}{y} \approx \frac{x_{0}}{y_{0}} \Bigl(1 + \frac{\delta x}{x_{0}} - \frac{\delta y}{y_{0}}\Bigr).

Passo 6

O erro relativo da razão é
\mathrm{ER}_{x/y} = \frac{\frac{x}{y} - \frac{x_{0}}{y_{0}}}{\frac{x_{0}}{y_{0}}} \approx \frac{\delta x}{x_{0}} - \frac{\delta y}{y_{0}} = \mathrm{ER}_{x} - \mathrm{ER}_{y}.

Resposta

\mathrm{ER}_{x/y}\approx \mathrm{ER}_{x} - \mathrm{ER}_{y}.

Exercícios relacionados