Mostre que não existe parábola de equação y=a+b x+c x^2 que interpola dois pontos dados (x 1, y 1), (x 2, y 2), com y 1 neq y 2. Mas, existem infinitas parábolas de equação x=a+by+cy^2 que interpolam estes pontos.

Passo 1

Beleza, a ideia é a seguinte: você tem dois pontos que “estão um em cima do outro” no eixo 𝑥, ou seja, têm a mesma abscissa mas alturas diferentes . O conteúdo aqui é simples álgebra linear básica: vamos montar o sistema de equações que diz “o ponto está na parábola” e ver se ele tem solução ou não. Para resolver vamos precisar de:
  • Montar o sistema substituindo cada ponto na forma geral da parábola.
  • Entender que, se um mesmo der dois s diferentes, a função não consegue atribuir dois valores a um mesmo .
  • E, no caso da parábola “de lado” , ver que temos 2 equações e 3 incógnitas, ou seja, infinitas soluções.

Passo 2

Vamos tentar a forma “vertical”
y = a + b,x + c,x^2
Se ambos os pontos têm abscissa y1 = a + b,x0 + c,x0^2, y2 = a + b,x0 + c,x0^2 , então:
y2 - y1 = 0
Mas o lado direito é exatamente o mesmo nas duas equações, logo subtraindo uma da outra:
Como por hipótese , chegamos a uma contradição. Conclusão: não existe escolha de que faça essa parábola vertical passar pelos dois pontos (mesmo , duas alturas diferentes).

Passo 3

Agora a forma “horizontal”
x = a + b,y + c,y^2
Substituindo x0 = a + b,y1 + c,y1^2, x0 = a + b,y2 + c,y2^2 e b&=-c,y1^2 - y2^2y1 - y2=-c,(y1+y2), a&=x0 - b,y1 - c,y1^2 , tiramos o sistema
Isso gera duas equações lineares em . São 2 equações e 3 incógnitas, logo você sempre tem infinitas soluções. Por exemplo, podemos escolher livremente e então:
Cada valor de dá um triângulo diferente que interpola os dois pontos.

Resposta

Não existe nenhuma parábola da forma que passe por e quando .
Por outro lado, há infinitas parábolas da forma que passam por esses mesmos pontos, porque o sistema dá 2 equações em 3 incógnitas e sempre sobra um grau de liberdade.

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