Mostre que não existe parábola de equação
que interpola dois pontos dados
,
, com
. Mas, existem infinitas parábolas de equação
que interpolam estes pontos.
Passo 1
Beleza, a ideia é a seguinte: você tem dois pontos que “estão um em cima do outro” no eixo 𝑥, ou seja, têm a mesma abscissa
mas alturas diferentes
. O conteúdo aqui é simples álgebra linear básica: vamos montar o sistema de equações que diz “o ponto está na parábola” e ver se ele tem solução ou não. Para resolver vamos precisar de:
- Montar o sistema substituindo cada ponto na forma geral da parábola.
- Entender que, se um mesmo
der dois s diferentes, a função não consegue atribuir dois valores a um mesmo . - E, no caso da parábola “de lado”
, ver que temos 2 equações e 3 incógnitas, ou seja, infinitas soluções.
Passo 2
Vamos tentar a forma “vertical”
Se ambos os pontos têm abscissa
, então:
Mas o lado direito é exatamente o mesmo nas duas equações, logo subtraindo uma da outra:
Como por hipótese
, chegamos a uma contradição. Conclusão: não existe escolha de
que faça essa parábola vertical passar pelos dois pontos (mesmo
, duas alturas diferentes).
Passo 3
Agora a forma “horizontal”
Substituindo
e
, tiramos o sistema
Isso gera duas equações lineares em
. São 2 equações e 3 incógnitas, logo você sempre tem infinitas soluções. Por exemplo, podemos escolher
livremente e então:
Cada valor de
dá um triângulo
diferente que interpola os dois pontos.
Resposta
Não existe nenhuma parábola da forma
que passe por
e
quando
.
Por outro lado, há infinitas parábolas da forma que passam por esses mesmos pontos, porque o sistema dá 2 equações em 3 incógnitas e sempre sobra um grau de liberdade.
Por outro lado, há infinitas parábolas da forma