Considerando a função
, faça o que se pede: Quantas iterações do método da dicotomia seriam necessários para obter um erro menor ou igual que o erro obtido pelo método de Newton do item c)?
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: “Para a função f(x)=x³–x–1, quantas iterações do método da dicotomia (bissecção) são necessárias para garantir que o erro seja no máximo igual ao erro que o método de Newton apresentou no item c)?”
Conteúdo: método da bissecção e estimativa de erro.
O que precisamos:
Conteúdo: método da bissecção e estimativa de erro.
O que precisamos:
- Um intervalo [a,b] contendo a raiz.
- A fórmula do erro no método da bissecção: após n iterações, o erro máximo é (b–a)/2ⁿ.
- O valor do erro εₙ obtido pelo método de Newton no item c).
Passo 2
Primeiro escolhemos o intervalo [a,b]. Como f(1)=1–1–1=–1 e f(2)=8–2–1=5, há mudança de sinal, logo a ≔ 1 e b ≔ 2 contêm a raiz.
Passo 3
Lembra que, no método da bissecção, depois de n iterações o máximo erro em relação à raiz exata x* vale
Queremos que
onde
é o erro máximo que o Newton deu no item c).
Passo 4
Substituindo a=1 e b=2:
Para encontrar o menor n inteiro que satisfaça isso, aplicamos log₂:
Resposta
O número de iterações necessárias é
onde
é o erro obtido pelo método de Newton no item c).