Considerando a função f(x)=x^3-x-1, faça o que se pede: Quantas iterações do método da dicotomia seriam necessários para obter um erro menor ou igual que o erro obtido pelo método de Newton do item c)?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Para a função f(x)=x³–x–1, quantas iterações do método da dicotomia (bissecção) são necessárias para garantir que o erro seja no máximo igual ao erro que o método de Newton apresentou no item c)?”
Conteúdo: método da bissecção e estimativa de erro.
O que precisamos:
  • Um intervalo [a,b] contendo a raiz.
  • A fórmula do erro no método da bissecção: após n iterações, o erro máximo é (b–a)/2ⁿ.
  • O valor do erro εₙ obtido pelo método de Newton no item c).

Passo 2

Primeiro escolhemos o intervalo [a,b]. Como f(1)=1–1–1=–1 e f(2)=8–2–1=5, há mudança de sinal, logo a ≔ 1 e b ≔ 2 contêm a raiz.

Passo 3

Lembra que, no método da bissecção, depois de n iterações o máximo erro em relação à raiz exata x* vale
Ebis(n) = b - a2^n
Queremos que
Ebis(n) <= varepsilonNewt,
onde é o erro máximo que o Newton deu no item c).

Passo 4

Substituindo a=1 e b=2:
2 - 12^n <= varepsilonNewt Longrightarrow 12^n <= varepsilonNewt Longrightarrow 2^n >= 1varepsilonNewt
Para encontrar o menor n inteiro que satisfaça isso, aplicamos log₂:
n >= log2!l(1varepsilonNewtr) Longrightarrow n = glceil log2!l(tfrac1varepsilonNewtr)grceil

Resposta

O número de iterações necessárias é
boxedn = llceil log2l(1/varepsilonNewtr)rrceil,
onde é o erro obtido pelo método de Newton no item c).

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