Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que, em cada caso, a raiz está no intervalo
:
Determine essas raízes, com duas casas decimais corretas, usando o método da bisseção. Realize três iterações do método de Newton e da Secante para cada função, escolhendo um chute inicial conveniente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui exatamente uma raiz em
e que ela está em
. Depois, devemos aproximar essa raiz com duas casas decimais pelo método da bisseção e, em seguida, realizar três iterações do método de Newton e três da secante, cada um com um chute inicial adequado.
Passo 2
Mostramos existência e unicidade da raiz em
. A função
é contínua e diferenciável em
. Sua derivada é
logo
é estritamente crescente. Calculamos
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um único
tal que
.
Passo 3
Aplicamos o método da bisseção em
até obter um intervalo de comprimento menor que
:
-
, [0,5,0,75] -
, [0,5,0,625] -
, [0,5625,0,625] -
, [0,5625,0,59375] -
, [0,5625,0,578125] -
, [0,5625,0,5703125]
Agora o comprimento é
. Assim a raiz está em
e, com duas casas decimais,
Passo 4
Método de Newton com
. A iteração é
Calculamos:
Passo 5
Método da secante com
,
. A iteração é
Calculamos:
Resposta
A raiz é aproximadamente
.
Pelo método de Newton, a sequência é
Pelo método da secante, a sequência é