Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que, em cada caso, a raiz está no intervalo [0.5,1] :
x e^x-1=0
Determine essas raízes, com duas casas decimais corretas, usando o método da bisseção. Realize três iterações do método de Newton e da Secante para cada função, escolhendo um chute inicial conveniente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
f(x)=x e^x -1=0
possui exatamente uma raiz em [0,1] e que ela está em [0,5,1]. Depois, devemos aproximar essa raiz com duas casas decimais pelo método da bisseção e, em seguida, realizar três iterações do método de Newton e três da secante, cada um com um chute inicial adequado.

Passo 2

Mostramos existência e unicidade da raiz em [0,5,1]. A função
f(x)=x e^x -1
é contínua e diferenciável em R. Sua derivada é
f'(x)=e^x(x+1)>0para todo x>=0,
logo f é estritamente crescente. Calculamos
f(0,5)=0,5,e^0,5-1approx0,5cdot1,6487-1=-0,1756<0,
f(1)=1cdot e^1-1=e-1approx1,718>0
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um único cin[0,5,1] tal que f(c)=0.

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção em [a,b]=[0,5,1] até obter um intervalo de comprimento menor que 0,01:
  1. m1=0,75, f(m1)>0 implies[0,5,0,75]
  2. m2=0,625, f(m2)>0 implies[0,5,0,625]
  3. m3=0,5625, f(m3)<0 implies[0,5625,0,625]
  4. m4=0,59375, f(m4)>0 implies[0,5625,0,59375]
  5. m5=0,578125, f(m5)>0 implies[0,5625,0,578125]
  6. m6=0,5703125, f(m6)>0 implies[0,5625,0,5703125]
Agora o comprimento é 0,5703125-0,5625=0,0078125<0,01. Assim a raiz está em [0,5625,0,5703125] e, com duas casas decimais,
capprox0,57

Passo 4

Método de Newton com x0=0,6. A iteração é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Calculamos:
f(0,6)=0,6e^0,6-1approx0,0933, f'(0,6)approx2,9154,
x1=0,6-0,09332,9154approx0,5680
f(0,5680)approx0,0020, f'(0,5680)approx2,766,
x2=0,5680-0,00202,766approx0,5673
f(0,5673)approx0,0001, f'(0,5673)approx2,764,
x3=0,5673-0,00012,764approx0,5673

Passo 5

Método da secante com x0=0,5, x1=1. A iteração é
xn+1=xn-;f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
Calculamos:
f(0,5)approx-0,1756,;f(1)approx1,718
x2=1-;1,718cdot1-0,51,718-(-0,1756)approx0,5463
f(0,5463)approx-0,0567,;f(1)approx1,718
x3=0,5463-;(-0,0567)cdot0,5463-1-0,0567-1,718approx0,5608
f(0,5608)approx-0,0177,;f(0,5463)approx-0,0567
x4=0,5608-;(-0,0177),0,5608-0,5463-0,0177-(-0,0567)approx0,5674

Resposta

A raiz é aproximadamente 0,57.
Pelo método de Newton, a sequência é
x1approx0,5680, x2approx0,5673, x3approx0,5673
Pelo método da secante, a sequência é
x2approx0,5463, x3approx0,5608, x4approx0,5674

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