Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para n \in \mathbb{N} :
\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n \cdot(n+1) \cdot(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove, por indução em n, a identidade
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} \;=\;\frac{n(n+3)}{4\,(n+1)(n+2)}.
O conteúdo aqui é prova por indução: vamos verificar o caso base em n=1 e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=1: o lado esquerdo fica
\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{6},
e o lado direito é
\frac{1\,(1+3)}{4\,(1+1)(1+2)}=\frac{4}{4\cdot2\cdot3}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}.
Portanto vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum m\ge1 tenhamos
\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{m(m+3)}{4\,(m+1)(m+2)}.

Passo 4

Passo indutivo: vamos mostrar a fórmula para n=m+1. Começamos escrevendo a soma até m+1 como a soma até m mais o termo extra:
\sum_{k=1}^{m+1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\underbrace{\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}}_{\text{hipótese}}+\frac{1}{(m+1)(m+2)(m+3)}.ó
Pela hipótese de indução isso é
\frac{m(m+3)}{4\,(m+1)(m+2)}+\frac{1}{(m+1)(m+2)(m+3)}.
Colocando sobre o mesmo denominador 4\,(m+1)(m+2)(m+3):
\frac{m(m+3)(m+3)}{4\,(m+1)(m+2)(m+3)} +\frac{4}{4\,(m+1)(m+2)(m+3)}.
No numerador temos
m(m+3)(m+3)+4 = m\bigl((m+3)^2\bigr)+4 = m(m^2+6m+9)+4 = m^3+6m^2+9m+4.
Note que
(m+1)(m+4) = m^2+5m+4 \quad\Longrightarrow\quad (m+1)(m+4)\,m = m^3+5m^2+4m.
Então
m^3+6m^2+9m+4 = \bigl(m^3+5m^2+4m\bigr)+(m^2+5m+4) = m(m+1)(m+4)+(m+1)(m+4) = (m+1)(m+4)(m+1).
Logo o numerador é (m+1)^2(m+4), e assim
\sum_{k=1}^{m+1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac{(m+1)^2(m+4)}{4\,(m+1)(m+2)(m+3)} =\frac{(m+1)(m+4)}{4\,(m+2)(m+3)},
que é exatamente a fórmula com n=m+1.

Passo 5

Concluímos que, por indução, a identidade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

A fórmula
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4\,(n+1)(n+2)}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

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