Mostre as seguintes fórmulas por indução, válidas para
:
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove, por indução em
, a identidade
O conteúdo aqui é prova por indução: vamos verificar o caso base em
e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
Caso base
: o lado esquerdo fica
e o lado direito é
Portanto vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
tenhamos
Passo 4
Passo indutivo: vamos mostrar a fórmula para
. Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo extra:
Pela hipótese de indução isso é
Colocando sobre o mesmo denominador
:
No numerador temos
Note que
Então
Logo o numerador é
, e assim
que é exatamente a fórmula com
.
Passo 5
Concluímos que, por indução, a identidade vale para todo
.
Resposta
A fórmula
é verdadeira para todo
.