Mostre as sentenças abertas, por indução matemática.
(c) p(n): 2^{n}<n!\forall n \geq 4

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que a sentença aberta
p(n):\;2^{n}<n!\quad\text{para todo }n\ge 4
é verdadeira. Informações relevantes fornecidas:
  • A desigualdade deve valer para todos os inteiros n com n\ge 4.
  • Definições que vamos usar (explicando devagar):
    • Para inteiro n\ge 1, o fatorial é n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n,por exemplo 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24.
    • Potência de dois: 2^{n} = \underbrace{2\cdot 2\cdot \ldots \cdot 2}_{n\text{ vezes}}.
  • Objetivo final: provar que \,2^{n}<n!\, vale para todo inteiro n\ge 4.

Passo 2

Vamos começar verificando a base do tipo de prova que vamos usar (não se preocupe: vou explicar a técnica à medida que a utilizo). Teste para n=4:
2^{4}=16 \qquad\text{e}\qquad 4!=24.
Como \,16<24, concluímos que p(4) é verdadeira. Este é o “passo inicial” que garante que a propriedade começa a valer a partir de n=4.

Passo 3

Agora enunciamos a hipótese de indução (vou explicar o que isso significa): suponha que para algum inteiro fixo k\ge 4 a propriedade seja verdadeira, isto é, suponha que
2^{k}<k!.
Isto é uma hipótese provisória — assumimos que vale para k e vamos mostrar que então ela também vale para k+1. Mostrar isto para um k arbitrário faz a máquina da indução “rodar” para todos os inteiros seguintes.

Passo 4

Preparando o que vamos comparar para passar de k para k+1. Observe as fórmulas:
2^{k+1}=2\cdot 2^{k} \qquad\text{e}\qquad (k+1)!=(k+1)\cdot k!.
A partir da hipótese de indução 2^{k}<k! podemos multiplicar ambos os lados por 2 (multiplicação por número positivo preserva desigualdade), obtendo
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}<2\cdot k!.

Passo 5

Comparar agora 2\cdot k! com (k+1)\cdot k!. Como k! é positivo para todo k\ge 1, podemos dividir por k! ou simplesmente observar o fator comum. Para todo k\ge 4 temos k+1\ge 5, então em particular
2 < k+1.
Multiplicando essa desigualdade por k! (positivo) obtemos
2\cdot k! < (k+1)\cdot k! = (k+1)!.
Juntando com o que já tínhamos em

Passo 6

2^{k+1} < 2\cdot k! < (k+1)!.
Logo
2^{k+1} < (k+1)!,
ou seja, p(k+1) é verdadeira sempre que p(k) for verdadeira para algum k\ge 4.

Passo 7

Conclusão por indução matemática: como mostramos a base p(4) verdadeira (

Resposta

\forall n\ge 4,\;2^{n}<n!

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