Mostre as sentenças abertas, por indução matemática.
(a) p(n): 3 \mid\left(2^{2 n}-1\right), \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, por indução matemática, que a sentença aberta
p(n):\;3 \mid \bigl(2^{2n}-1\bigr)
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão a investigar é 2^{2n}-1.
  • Queremos provar que esse número é divisível por 3 para qualquer natural n.
  • Não há outros dados numéricos; a prova será por indução em n.

Passo 2

Breve lembrete do que é provar por indução (passo-a-passo didático): a prova por indução tem duas partes essenciais.
  1. Caso base: verificar que p(n) é verdadeira para um primeiro valor de n (usualmente n=1).
  2. Passo indutivo: assumir que p(k) é verdadeira para um certo k\in\mathbb{N} (hipótese de indução) e, sob essa hipótese, mostrar que p(k+1) também é verdadeira.
Também vamos usar uma propriedade básica de divisibilidade: se a\mid b e a\mid c, então a\mid(b+c). Isso vem do fato de que b=a\cdot m e c=a\cdot n implicam b+c=a\cdot(m+n).

Passo 3

Caso base ( n=1). Calcular a expressão e verificar divisibilidade por 3:
2^{2\cdot 1}-1 = 2^{2}-1 = 4-1 = 3.
Como 3=3\cdot 1, temos 3\mid(2^{2}-1). Portanto o caso base p(1) é verdadeiro.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que, para um certo k\in\mathbb{N},
3 \mid \bigl(2^{2k}-1\bigr).
Escrever isso de forma equivalente: existe um inteiro m tal que
2^{2k}-1 = 3m.
Isto é a hipótese que usaremos para mostrar a etapa k\to k+1.

Passo 5

Passo indutivo: mostrar que 3\mid\bigl(2^{2(k+1)}-1\bigr).
Começamos transformando a expressão:
2^{2(k+1)}-1 = 2^{2k+2}-1 = 4\cdot 2^{2k}-1.
Agora separamos um múltiplo de 3 e o restante que envolve a hipótese:
4\cdot 2^{2k}-1 = 3\cdot 2^{2k} + \bigl(2^{2k}-1\bigr).
Observe que 3\cdot 2^{2k} é claramente divisível por 3. Pela hipótese de indução sabemos que 2^{2k}-1 também é divisível por 3. Aplicando a propriedade que soma de múltiplos de 3 é múltiplo de 3, concluímos que a soma
3\cdot 2^{2k} + \bigl(2^{2k}-1\bigr)
é divisível por 3.
Portanto 3\mid\bigl(2^{2(k+1)}-1\bigr). Isso fecha o passo indutivo.

Passo 6

Resumo da estrutura lógica: verificamos o caso base p(1) e mostramos que p(k)\Rightarrow p(k+1). Assim, por princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

A propriedade p(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}: \;3 \mid \bigl(2^{2n}-1\bigr).

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