Mostre as sentenças abertas, por indução matemática.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, por indução matemática, que a sentença aberta
é verdadeira para todo
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão a investigar é
. - Queremos provar que esse número é divisível por
para qualquer natural . - Não há outros dados numéricos; a prova será por indução em
.
Passo 2
Breve lembrete do que é provar por indução (passo-a-passo didático): a prova por indução tem duas partes essenciais.
- Caso base: verificar que
é verdadeira para um primeiro valor de (usualmente ). - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um certo (hipótese de indução) e, sob essa hipótese, mostrar que também é verdadeira.
Também vamos usar uma propriedade básica de divisibilidade: se
e
, então
. Isso vem do fato de que
e
implicam
.
Passo 3
Caso base (
). Calcular a expressão e verificar divisibilidade por
:
Como
, temos
. Portanto o caso base
é verdadeiro.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que, para um certo
,
Escrever isso de forma equivalente: existe um inteiro
tal que
Isto é a hipótese que usaremos para mostrar a etapa
.
Passo 5
Passo indutivo: mostrar que
.
Começamos transformando a expressão:
Agora separamos um múltiplo de
e o restante que envolve a hipótese:
Observe que
é claramente divisível por
. Pela hipótese de indução sabemos que
também é divisível por
. Aplicando a propriedade que soma de múltiplos de
é múltiplo de
, concluímos que a soma
é divisível por
.
Portanto
. Isso fecha o passo indutivo.
Passo 6
Resumo da estrutura lógica: verificamos o caso base
e mostramos que
. Assim, por princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo
.
Resposta
A propriedade
é verdadeira para todo
:
.