Uma progressão aritmética ( PA ) é uma sequência de números reais ( a_{n} ) tal que a_{1} dado e, para todo n \in \mathbb{N}, tem-se que
a_{n+1}=a_{n}+r
onde r é um número real fixo chamado razão. Mostre que a_{n}=a_{1}+(n-1) r.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência (a_n) de números reais com um termo inicial e uma regra de recorrência. Especificamente:
  • Informação dada:
    • O primeiro termo é a_1 (um número real dado).
    • Para todo n\in\mathbb{N} vale a relação de recorrência a_{n+1}=a_{n}+r,onde r é uma constante real chamada razão.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o n-ésimo termo é dado por a_{n}=a_{1}+(n-1)r.

Passo 2

Vou explicar dois jeitos simples e didáticos para chegar à fórmula: (A) somando a recorrência (método do “telescópio”), que dá uma dedução direta e intuitiva; (B) prova por indução matemática, que dá garantia formal para todos os n. Vou fazer os dois: primeiro a intuição (telescópio) para entender por que a fórmula é assim, e depois a prova por indução para fechar rigorosamente.

Passo 3

Escreve a relação de recorrência para alguns valores consecutivos:
a_{2}-a_{1}=r,
a_{3}-a_{2}=r,
a_{4}-a_{3}=r,
e assim por diante até
a_{n}-a_{n-1}=r.
Agora some todas essas igualdades lado a lado (soma das diferenças):
(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\cdots+(a_{n}-a_{n-1}) = r + r + \cdots + r,
onde o lado direito tem exatamente n-1 parcelas iguais a r.

Passo 4

No somatório do lado esquerdo a maioria dos termos cancela: -a_{1} fica só no início e +a_{n} só no final, porque +a_{2} cancela com -a_{2}, +a_{3} cancela com -a_{3}, etc. Logo o lado esquerdo simplifica para a_{n}-a_{1}. O lado direito é (n-1)r. Assim obtemos
a_{n}-a_{1}=(n-1)r.
Rearranjando vem imediatamente a fórmula desejada:
a_{n}=a_{1}+(n-1)r.
Isto já prova de forma bastante direta e convincente a expressão para a_n.

Passo 5

A dedução por somatório é clara e válida; agora farei a prova por indução para praticar um método formal usado com frequência em provas. A indução mostra que, se a fórmula vale para um caso base e se o passo de k para k+1 funciona, então vale para todo n.

Passo 6

Provar que a fórmula vale para n=1. Substituindo n=1 na fórmula proposta:
a_{1}=a_{1}+(1-1)r = a_{1}+0\cdot r = a_{1},
que é verdadeiro. Portanto a fórmula é válida para n=1 (caso base).

Passo 7

Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum inteiro k\ge1; isto é, suponha a hipótese indutiva
a_{k}=a_{1}+(k-1)r.
A partir dessa hipótese vamos provar que a fórmula vale para n=k+1.

Passo 8

Usando a relação de recorrência para obter a_{k+1}:
a_{k+1}=a_{k}+r.
Agora substitua a hipótese indutiva a_{k}=a_{1}+(k-1)r:
a_{k+1} = \bigl(a_{1}+(k-1)r\bigr) + r = a_{1} + \bigl((k-1)r + r\bigr) = a_{1} + k r.
Observe que k r = (k+1-1)r. Portanto
a_{k+1} = a_{1} + \bigl((k+1)-1\bigr)r,
ou seja, a fórmula vale para n=k+1.

Passo 9

Como a fórmula vale para n=1 (caso base) e, sempre que vale para n=k implica que vale para n=k+1 (passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}. Assim foi demonstrado formalmente que
a_{n}=a_{1}+(n-1)r\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 10

Se a_{1}=5 e r=3, então a fórmula dá
a_{4}=a_{1}+(4-1)r = 5 + 3\cdot 3 = 5 + 9 = 14.
Checando com a definição recorrente: a_{2}=8, a_{3}=11, a_{4}=14. Tudo bate certinho — é sempre assim: cada passo soma r.

Resposta

a_{n}=a_{1}+(n-1)r

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