Uma progressão aritmética ( PA ) é uma sequência de números reais (
) tal que
dado e, para todo
, tem-se que
onde
é um número real fixo chamado razão. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência
de números reais com um termo inicial e uma regra de recorrência. Especificamente:
- Informação dada:
- O primeiro termo é
(um número real dado). - Para todo
vale a relação de recorrência onde é uma constante real chamada razão.
- O primeiro termo é
- O que é pedido:
- Mostrar que, para todo
, o -ésimo termo é dado por
- Mostrar que, para todo
Passo 2
Vou explicar dois jeitos simples e didáticos para chegar à fórmula: (A) somando a recorrência (método do “telescópio”), que dá uma dedução direta e intuitiva; (B) prova por indução matemática, que dá garantia formal para todos os
. Vou fazer os dois: primeiro a intuição (telescópio) para entender por que a fórmula é assim, e depois a prova por indução para fechar rigorosamente.
Passo 3
Escreve a relação de recorrência para alguns valores consecutivos:
e assim por diante até
Agora some todas essas igualdades lado a lado (soma das diferenças):
onde o lado direito tem exatamente
parcelas iguais a
.
Passo 4
No somatório do lado esquerdo a maioria dos termos cancela:
fica só no início e
só no final, porque
cancela com
,
cancela com
, etc. Logo o lado esquerdo simplifica para
. O lado direito é
. Assim obtemos
Rearranjando vem imediatamente a fórmula desejada:
Isto já prova de forma bastante direta e convincente a expressão para
.
Passo 5
A dedução por somatório é clara e válida; agora farei a prova por indução para praticar um método formal usado com frequência em provas. A indução mostra que, se a fórmula vale para um caso base e se o passo de
para
funciona, então vale para todo
.
Passo 6
Provar que a fórmula vale para
. Substituindo
na fórmula proposta:
que é verdadeiro. Portanto a fórmula é válida para
(caso base).
Passo 7
Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum inteiro
; isto é, suponha a hipótese indutiva
A partir dessa hipótese vamos provar que a fórmula vale para
.
Passo 8
Usando a relação de recorrência para obter
:
Agora substitua a hipótese indutiva
:
Observe que
. Portanto
ou seja, a fórmula vale para
.
Passo 9
Como a fórmula vale para
(caso base) e, sempre que vale para
implica que vale para
(passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a fórmula vale para todo
. Assim foi demonstrado formalmente que
Passo 10
Se
e
, então a fórmula dá
Checando com a definição recorrente:
,
,
. Tudo bate certinho — é sempre assim: cada passo soma
.