Mostre que a séries harmônica alternada
converge e estime o valor com erro máximo de 0.2 .
Passo 1
Beleza, temos a série harmônica alternada
O conteúdo aqui é o teste de Leibniz (ou teste da série alternada) e a estimativa de resto para séries alternadas. Vamos precisar mostrar que a série converge (isto é, que seus termos positivos
são decrescentes e tendem a zero) e depois usar a fórmula do erro para achar quantos termos são suficientes para ter erro ≤ 0.2.
Passo 2
Aplicando o teste de Leibniz para séries alternadas:
- Os termos
são todos positivos. - Eles formam uma sequência decrescente:
para todo . - Eles tendem a zero:
.
Como esses três pontos valem, concluímos que
converge.
Passo 3
Agora, a estimativa de erro (ou resto) do teste de Leibniz diz que, se
é o valor exato da soma e
a soma parcial até
, então
Queremos essa folga ≤ 0.2, ou seja,
Passo 4
Resolvendo
:
Então basta somar até
termos.
Passo 5
Vamos calcular
:
Em fração exata:
Resposta
A série
converge pelo teste de Leibniz. Somando os primeiros 4 termos,
e o erro
é no máximo
.