Mostre que a séries harmônica alternada sumn=1^infty (-1)^n+1n converge e estime o valor com erro máximo de 0.2 .

Passo 1

Beleza, temos a série harmônica alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1n
O conteúdo aqui é o teste de Leibniz (ou teste da série alternada) e a estimativa de resto para séries alternadas. Vamos precisar mostrar que a série converge (isto é, que seus termos positivos são decrescentes e tendem a zero) e depois usar a fórmula do erro para achar quantos termos são suficientes para ter erro ≤ 0.2.

Passo 2

Aplicando o teste de Leibniz para séries alternadas:
  1. Os termos sumn=1^infty(-1)^n+1n são todos positivos.
  2. Eles formam uma sequência decrescente: para todo .
  3. Eles tendem a zero: .
Como esses três pontos valem, concluímos que
converge.

Passo 3

Agora, a estimativa de erro (ou resto) do teste de Leibniz diz que, se |S - SN| ;<=; aN+1 ;=;1N+1 é o valor exato da soma e 1N+1;<=;0.2 a soma parcial até , então
Queremos essa folga ≤ 0.2, ou seja,

Passo 4

Resolvendo N+1;>=;10.2=5 ;;Longrightarrow;; N;>=;4 :
Então basta somar até termos.

Passo 5

Vamos calcular S4 ;=; 1 ;-;12;+;13;-;14 ;=;1 - 0.5 + 0.3333ldots - 0.25 ;=;0.5833ldots :
1 - 12 + 13 - 14 =12 - 6 + 4 - 312 =712approx0.5833
Em fração exata:

Resposta

A série S4 = 1 - tfrac12 + tfrac13 - tfrac14 = tfrac712approx0.5833, converge pelo teste de Leibniz. Somando os primeiros 4 termos,
e o erro é no máximo .

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